কোয়ান্টাম মেকানিক্সে Spin হলো একটা property। এটি আসলে মৌলিক কণার magnetic property বোঝায়। যদিও "Spin" এর অর্থ ঘুর্নন, কিন্তু পরবর্তীতে দেখা যায় পদার্থের ইলেক্ট্রোন, প্রোটন কেউই ঘুরছে না। তবুও ঐতিহাসিক কারনে মৌলিক কণাগুলির এই ধর্মের নাম Spin রয়ে গেছে। একে $\bar{S}$ দিয়ে বোঝানো হয়। $S^2$ ও $S_z$ কে প্রকাশ করতে পারো এইভাবে-
\begin{equation}
S^2\ket{s,m}=\hbar^2 s(s+1)\ket{s,m} \label{eq:1}
\end{equation}
\begin{equation}
S_z\ket{s,m}=m\hbar\ket{s,m} \label{eq:2}
\end{equation}
Angular momentum এর মত স্পিন spatial coordinate এর উপর কোনভাবেই নির্ভর করেনা। এজন্য spin wave function প্রকাশ করতে spherical harmonic ব্যবহার করা হয়না। Ladder operator এর সাহায্যে স্পিনকে এভাবে প্রকাশ করা যায়-
\begin{equation}
S_{\pm}\ket{s,m}=\hbar \sqrt{ s(s+1)-m(m\pm 1)} \ket{s,m\pm 1} \label{eq:3}
\end{equation}
এখানে $S_{+}=1/2(S_x +S_y)$ এবং $S_{-}=1/2(S_x -S_y)$। একই সাথে এদের commutation-
\begin{equation}
[S_x,S_y]=i\hbar S_z \\
[S_y,S_z]=i\hbar S_x \\ \label{eq:4}
[S_z,S_x]=i\hbar S_y \\
\end{equation}
এইফাকে একটা বিষয় বলে রাখি, orbital angular momentum $l$ এর মান ভিন্ন ভিন্ন হতে পারে কিন্তু নির্দিষ্ট কণার জন্য spin $s$ এর মান সবসময়ই অপরিবর্তিত থাকবে। বোসনের ক্ষেত্রে $s=1$, gravitation এর ক্ষেত্রে $s=2$ আর ইলেক্ট্রন, প্রোটন, quarks এর জন্য s=1/2 ইত্যাদি। আমাদের স্পিন 1/2 কণার জন্যে লিখতে পারো -
\begin{align}
S^2\ket{1/2,m}&=&\hbar^2 \dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{2}+1)\ket{\dfrac{1}{2},m} \\
&=& \hbar^2 \dfrac{3}{4}\ket{\dfrac{1}{2},m} \label{eq:5}
\end{align}
যেখানে m এর মান আগের মতই $+ \dfrac{1}{2},- \dfrac{1}{2}$
পদার্থবিজ্ঞানের পাঠশালা