এই অধ্যায়ে variational principle ব্যবহার করে কিভাবে Ground state এর approximate ওয়েভ ফাংশন নির্ণয় করা যায় সেটা নিয়ে আলোচনা করবো। ধরো তোমার কাছে একটা ওয়েভ ফাংশন $\psi_0$ আছে। $\psi_0$ সিস্টেমের exact wavefunction, $E_0$ ঐ সিস্টেমের exact ground state energy । এবং এই মডেল সিস্টেমের শ্রোয়েডিংগার সমীকরণ -
\begin{equation}
\hat{H}\psi_0 =E_0 \psi_0 \label{eq:1}
\end{equation}
Simple মডেলের ক্ষেত্রে খুব সহজেই এই শ্রোয়েডিংগার সমীকরণকে সমাধান করে ফেলা যায়। কিন্তু অন্য ধরনের সিস্টেমের ক্ষেত্রে approximate ওয়েভ ফাংশন এর সমাধান বের করে অন্য ধরনের Hamiltonian এর সমাধান করা যায়। ধরে নাও $\phi$ সেরকম একটা approximate ground state ওয়েভ ফাংশন। এখন
\begin{align}
\label{eq:2}
\begin{split}
E_0 &=&\dfrac{\int \psi_0^* \hat{H} \psi_0 d\tau}{\int \psi_0^*\psi_0 d\tau}\\
&=& \dfrac{\bra{\psi_0}\hat{H}\ket{\psi_0}}{\bra{\psi_0}{\psi_0}\rangle} \text{(ডিরাক নোটেশন)}
\end{split}
\end{align}
যদি তোমার ওয়েভ ফাংশন আগে থেকেই normalized থাকে তাহলে $\int \psi_0^*\psi_0 d\tau = 1$ হবে। এখন আমাদের approximate ওয়েভ ফাংশনের এনার্জিকেও একই ভাবে লিখতে পারবে-
\begin{equation}
E_\phi= \dfrac{\bra{\phi_0}\hat{H}\ket{\phi_0}}{\bra{\phi_0}{\phi_0}\rangle} \label{eq:3}
\end{equation}
এইবার তুমি variational principle ব্যবহার করতে পারবা। Variational principle অনুযায়ী কোন approximate ground state এর এনার্জি, exact energy এর সমান অথবা বেশি হবে। অর্থাৎ-
\begin{equation}
E_\phi \geq E_0 \text{(সকল $\phi$ এর জন্য)} \label{eq:4}
\end{equation}
অর্থাৎ যত যাই করোনা কেন, এই Hamiltonian এর জন্য $E_\phi$ এর মান কিছুতেই $E_0$ এর কম হবে না। এখন এই এনার্জি দিয়ে কি করবো? ধরে নাও $E_\phi$ কোন একটা প্যারামিটার $\lambda$ এর উপর নির্ভর করে। Variation principle অনুযায়ী, $\lambda$ এর মান যাই হোক না কেন, $E_\phi$ এর মান কিছুতেই $E_0$ এর কম হবে না। অর্থাৎ
\begin{equation}
E_\phi (\lambda) \geq E_0 \label{eq:5}
\end{equation}
তাহলে আমাদের ওয়েভ ফাংশন $\phi$ ঐ প্যারামিটার $\lambda$ এর একটা ফাংশন বা $\phi=\phi(\lambda)$ এবং আমরা $\lambda$ এর ভিন্ন ভিন্ন মানের জন্য $E_\phi$ এর মান বের করার চেস্টা করবো। $\lambda$ এর যে মানের জন্য $E_\phi$ এর মান সর্বনিম্ন হবে সেটাই আমাদের সমাধান। অর্থাৎ
\begin{equation}
E_\text{min} \rightarrow \dfrac{dE_\phi(\lambda)}{d\lambda}=0 \label{eq:6}
\end{equation}
এটাই Variational principle এর মূল পদ্ধতি।
পদার্থবিজ্ঞানের পাঠশালা