I Physicist তোমাদের কথা

ক্ষুদে পদার্থবিজ্ঞানীর অভিযান

  • পর্বগুলি

    • In: ,
    এই অধ্যায়ে আমরা Perturbation Theory নিয়ে আলোচনা করবো। যেসব  কোয়ান্টাম মডেলের ক্ষেত্রে আমরা exact সমাধান জানিনা সেসন ক্ষেত্রে এটি এনার্জি ও ওয়েভ ফাংশন বের করার একটা পদ্ধতি। প্রথমে ধরে নাও একটা system এর Schrodinger ইকুয়েশন -
    \begin{equation}
    \hat{H} \psi_n =E_n \psi_n \label{eq:1}
    \end{equation}
    ধরে নাও $ \psi_n$ হলো একটা কোয়ান্টাম নম্বর যেটা সবগুলা state কে নির্দেশ করে এবং $E_n$ ঐ state গুলির এনার্জি কে নির্দেশ করে। কিন্তু $\hat{H}$ এমন একটা Hamiltonian যার exact ওয়েভ ফাংশন বা এনার্জি কোনোটাই জানা নাই। যেহেতু  $\hat{H}$ এরমান জানা নাই , কাজেই Schrodinger ইকুয়েশন হিসাব করা যাচ্ছেনা। এ অবস্থায় কি করা যায়?
    (i) variation method ব্যবহার করা যেতে পারে (ii) linear variation method ব্যবহার করা যেতে পারে। অথবা বিকল্প হিসাবে Perturbation theory ব্যবহার করা যেতে পারে। Perturbation theory এর জন্য আমরা পরিচিত একটা system এর  reference Hamiltonian  ও reference Schrodinger equation দিয়ে শুরু করতে পারি। ।
    \begin{equation}
    \hat{H}^0 \psi_n^0=E_n^0 \psi_n^0 \label{eq:2}
    \end{equation}
    ধরো $ \hat{H^0}$ এমন একটা Hamiltonian যেটা exact সমাধান জানা আছে  $\psi_n^0$ সেই সিস্টেমের ওয়েভ ফাংশন, $E_n^0$ ঐ সিস্টেমের ভিন্ন ভিন্ন এনার্জি লেভেল। এবার  \eqref{eq:1} কে নিয়ে দুটো Hamiltonian এর যোগফল হিসাবে লিখবো। একটা হলো <$ \hat{H^0}$ (যার সমাধান আমরা জানি), আরেকটা হলো $ \hat{H}^1$ যেটার মধ্যে reference system এর যে অংশগুলি জানিনা সেগুলিকে ঢুকিয়ে দেবো।
    \begin{equation} \underbrace{\hat{H}}_\text{Total Hamiltonian}=\underbrace{\hat{H}^0}_\text{Reference Hamiltonian}+\underbrace{\hat{H}^1}_\text{Perturbation} \label{eq:4} \end{equation} যুক্তিটা হলো আমাদের Total system, reference Hamiltonian এর খুবই কাছাকাছি কিছু হবে এবং Perturbation অংশটি $\hat{H}^0$ থেকে খুবই ছোট পার্থক্য যে আমাদের সমাধানে সেটি খুব বেশি ঝামেলা বাধাতে পারবেনা (in low order)। Perturbation Theory ঐ সিস্টেমের Total energy কে 0th order, first order, 2nd order energy term এ প্রকাশ করবে ইত্যাদি।
    \begin{equation}
    E_n=E_n^0+E_n^1+E_n^2+\dots \label{eq:5}
    \end{equation}
    একইভাবে ওয়েভ ফাংশনকেও 0th order, first order, 2nd order এর যোগফল হিসাবে লিখা যায়- \begin{equation}
    \psi_{n}=\psi_n^0+\psi_n^1+\psi_n^2+\dots \label{eq:6}
    \end{equation}
    অথবা \begin{equation} \ket{n}=\ket{n^0}+\ket{n^1}+\ket{n^2}+\dots \label{eq:7}
    \end{equation} এখন reference Hamiltonian থেকে খুব সহজেই reference energy হিসাব করে ফেলা যাবে- \begin{equation} E_n^0=\bra{n} \hat{H}^0 \ket{n} \label{eq:8} \end{equation} এবং first order energy \begin{equation} E_n^1=\bra{n} \hat{H}^1 \ket{n} \label{eq:9} \end{equation} এবং first order wave function \begin{equation} \psi_n^1=\sum_{m\neq n}^\infty \dfrac{\bra{m} H^1 \ket{n}}{E_n^0-E_m^0}\label{eq:10} \end{equation} সাধারন ভাবে ৪ ধরনের System এ perturbation theory ব্যবহার করা যেতে পারে An-harmonic Oscillator, Particle in a slanted Box, Rigid rotor, Hydrogen atom. \section{Introduction} কোন স্টেটের energy eigenvalue দেওয়া থাকলে সেটাকে সমাধান খুব সহজেই করা যায়। সমস্যাটা হলো যেসব সিস্টেমের exact ওয়েভ ফাংশন বা এনার্জি কোনোটাই জানা নাই সেক্ষেত্রে কি করা যায়?
    (i) variation method ব্যবহার করা যেতে পারে (ii) linear variation method ব্যবহার করা যেতে পারে। অথবা বিকল্প হিসাবে Perturbation theory ব্যবহার করা যেতে পারে। যেসব  কোয়ান্টাম মডেলের ক্ষেত্রে আমরা exact সমাধান জানিনা সেসন ক্ষেত্রে এটি এনার্জি ও ওয়েভ ফাংশন বের করার একটা পদ্ধতি। মনেকরো কোন একটা সিস্টেমের Hamiltonian কে এভাবে লেখা যায়- \begin{equation} H = H_0 + H_1. \end{equation} এখানে, $H_0$ এমন একটা Hamiltonian যার exact eigenvalues আর eigenstates জানা আছে আর $H_1$ ঐ সিস্টেমের perturbation এর Hamiltonian যার energy eigenvalues এবং eigenstates কোনটাই জানা নাই। এক্ষেত্রে ধরে নিয়েছি যে $H_1$ এর মান $H_0$ এর তুলনায় অনেক ক্ষুদ্র। যেহেতু $H_0$ এর eigenvalues আর eigenstates জানা আছে, সেহেতু এর উপর perturbation analysis প্রয়োগ করে modified Hamiltonian $H_0+H_1$ এর জন্য approximate eigenvalues ও eigenstates হিসাব করার চেস্টা করবো।
    Two-State System
    প্রথমেই time-independent perturbation theory দিয়ে আলোচনা শুরু করা যাক। এখানে $H_1$ এর মান সময়ের উপর নির্ভর করেনা। এবং একইভাবে $H_0$ ও সময়ের উপর নির্ভরশীল নয়। এখন একটা non-trivial system এর কথা চিন্তা করো যেখানে unperturbed Hamiltonian এর শুধুমাত্র দুইটা two independent eigenkets রয়েছে। এটাকে লিখা যায়- \begin{eqnarray} H_0 \,|1\rangle &=& E_1 \,|1\rangle,\\[0.5ex] H_0 \,|2\rangle &=& E_2 \,|2\rangle. \end{eqnarray} ধরে নেওয়া হয় যে এই স্টেট আর তাদের eigenvalues আমরা জানি। যেহেতু সংজ্ঞা অনুসারে $H_0$ একটা Hermitian operator, সেহেতু এর দুইটা eigenket ই mutually orthogonal এবং একটি complete set গঠন করে। এবং এই eigenkets দৈর্ঘ্যকে normalize করলে আমরা unity পাই। এবার আসো দেখি এই modified energy eigenvalue কে কোনভাবে সমাধান করা যায় কিনা- \begin{equation}\label{e6.4} (H_0 + H_1) \,|E\rangle = E\,|E\rangle. \end{equation} যেহেতু $H_0$ এর eigenket গুলি complete set গঠন করে, আমরা লিখতে পারি- \begin{equation} |E\rangle = \langle 1|E\rangle |1\rangle + \langle 2|E\rangle |2\rangle. \end{equation} সমীকরণ (\ref{e6.4}) এর ডানপক্ষকে $\langle 1|$ ও $\langle 2|$ দিয়ে গুন করলে দুইটা coupled equations পাওয়া যায়, যাদেরকে matrix আকারে লেখা যায়- \begin{equation}\label{e6.6} \left( \begin{array}{c c} E_1 -E + e_{11} & e_{12} \\ e_{12}^{\,\ast} & E_2 -E + e_{22} \end{array} \right)\left(\! \begin{array}{c}\langle 1|E\rangle\\ \langle 2|E \rangle\end{array} \!\right)= \left(\!\begin{array}{c}0\\ 0 \end{array}\! \right). \end{equation} এখানে, \begin{eqnarray} e_{11} &=& \langle 1|\,H_1\, | 1\rangle,\\[0.5ex] e_{22} &=& \langle 2 |\,H_1\, |2\rangle, \\[0.5ex] e_{12} &=& \langle 1|\,H_1\,|2\rangle. \end{eqnarray} কিছু বিশেষ ক্ষেত্রে perturbing Hamiltonian এর diagonal matrix elements কে শূন্য ধরা যায়, অর্থাৎ \begin{equation} e_{11} = e_{22} = 0, \end{equation} তাহলে সমীকরণ (\ref{e6.6})এর matrix determinant কে শুন্য ধরে, খুব সহজেই এর সমাধান পাওয়া যায়- \begin{equation} E = \frac{(E_1+E_2) \pm \sqrt{(E_1-E_2)^{\,2} + 4\,|e_{12}|^{\,2}}}{2}. \end{equation} ধরো $\epsilon$ একটি ক্ষুদ্র parameter, যাকে লিখা যায়- \begin{equation} \epsilon = \frac{|e_{12}|}{|E_1-E_2|}. \end{equation} তাহলে আমরা পাবো- \begin{equation}\label{e6.13} E\simeq \frac{1}{2} \,(E_1+E_2) \pm \frac{1}{2}\,(E_1-E_2)\,(1+2\,\epsilon^2 + \cdots). \end{equation} উপরের সমীকরণটি বসিয়ে perturbing Hamiltonian এর modified energy eigenvalues কে লেখা যায়- \begin{eqnarray} E_1' &=& E_1 + \frac{|e_{12}|^{\,2}}{E_1-E_2} + \cdots,\\[0.5ex] E_2' &=& E_2 - \frac{|e_{12}|^{\,2}}{E_1-E_2} + \cdots. \end{eqnarray} লক্ষ্য করো যে $H_1$ এর কারনে সকল upper eigenvalue এর rise ঘটে এবং lower eigenvalue এর fall ঘটে। Modified eigenkets কে এখন তাহলে লেখা যায় এভাবে- \begin{eqnarray} |1\rangle' &=& |1\rangle + \frac{e_{12}^{~\ast}}{E_1-E_2}\, |2\rangle + \cdots, \\[0.5ex] |2\rangle' &=& |2\rangle - \frac{e_{12}}{E_1-E_2}\, |1\rangle +\cdots. \end{eqnarray} সুতরাং, modified energy eigenstates একটি unperturbed eigenstates এর সাথে আরেকটির মিশ্রনের সমন্বয়ে গঠিত। লক্ষ্য করো যে সমীকরণ (\ref{e6.13}) এর series expansion শুধুমাত্র তখনই converge হবে যদি $2\,|\epsilon|<1$ হয়। অন্যভাবে বলা যায় perturbation expansion এর valid হবার শর্ত হচ্ছে- \begin{equation} |e_{12}| < \frac{|E_1-E_2|}{2}. \end{equation} সুতরাং যখন বলা হয় $H_1$ এর মান $H_0$ এর ছোট হতে হবে তখন আসলে বুঝানো হয় যে উপরের সমীকরণটি যেন satisfy করে।
    Tags: ,

    I Physicist

    পদার্থবিজ্ঞানের পাঠশালা

    যোগাযোগের ইমেইল

    © I Physicist