WKB এর নাম এসেছে তিনজন বিজ্ঞানীর নাম থেকে Wentzel, Kramers এবং Brillouin. এটি শ্রোয়েডিঞ্জার সমীকরনের approximate সমাধানের একটা পদ্ধতি। এর প্রধান কাজ হবে potential barriers এর মধ্যে দিয়ে Tunneling rate আর bound state energy হিসাব করা। আলোচনায় classical turning point বলতে যে পয়েন্টে potential energy $V$ আর total energy $E$ সমান, এটি আমন একটা পয়েন্ট যেখানে গতিশক্তি $K_E=0$।
যদি $E>V$ হয়, ক্লাসিক্যাল পার্টিকেল ইচ্ছেমত চলাচল করতে পারে।
যদি $V=constant$ হয়, তাহলে $\psi(x)=Ae^{\pm ikx}$ যেখানে $k\equiv \sqrt{2m(E-V)}/hbar$ এই ওয়েভ ফাংশন এর wavelength ও amplitude constant.
যদি $V$ constant না হয় কিন্তু খুব আস্তে আস্তে বদল হয়, তখন ধরে নিতে পারো $\psi$ sinusoidal থাকে। কিন্তু wavelength ও amplitude খুব ধীরে ধীরে বদল হয়।
এখন, যদি $E< V$ হয়, তখন constant $V$ এর জন্য শ্রোয়েডিঞ্জার সমীকরনের সমাধান $\psi(x)=Ae^{kx}$ হয়। এখানে ক্লাসিকাল পার্টিকেল allowed না আর quantum particle ধরা হয় tunnel এর মধ্য দিয়ে যাচ্ছে।
$E>V$: A classically allowed region:
এখানে শ্রোয়েডিঞ্জার সমীকরনকে লেখা যায়-
\begin{equation}
-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{d^2 \psi}{dx^2}+V(x)\psi=E\psi \label{eq:1}
\end{equation}
এখানে $P(x)\equiv \sqrt{2m[E-V(x)]}$ মোমেন্টামের ক্লাসিক্যাল ফর্মূলা। এবং $p(x)$ হলো real এবং লিখতে পারো $\psi(x)=A(x)e^{i\phi(x)}$ যেখানে $A$ ও $\phi$ দুটোই $x$ এর real function.
অনেকসময় কোয়ান্টাম মেকানিক্সে potential square না হয়ে সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয়।
ধরো $m$ ভরের একটা কণা $E$ এনার্জিতে এমন একটা region এর মধ্যে দিয়ে যাচ্ছে যার potential $V(x)$, এবং এখানে $V(x)$ একটা ধ্রুবক। যদি $E > V$ হয়, তাহলে এর ওয়েভ ফাংশনকে লেখা যায় এভাবে-
\begin{equation}
\psi(x)=Ae^{\pm ikx}, \text{with $k\equiv \sqrt{2m (E-V)}/\hbar$} \label{eq:2}
\end{equation}
+ চিহ্ন দিয়ে বোঝানো হচ্ছে কণাটি ডান দিকে যাচ্ছে, আর - sign দিয়ে কণাটি বামদিকে যাচ্ছে বোঝানো হচ্ছে। এখনাএ $\lambda=2\pi/k$ এবং amplitude $A$ এর মান ধ্রুবক। কিন্তু যদি ব্যাপারটা এমন হয় যে, $V(x)$ এর মান ধ্রুবক না। $\lambda$ এর সাপেক্ষে এটি পরিবর্তিত হয়, কিন্তু খুবই ধীরে ধীরে, নির্দিস্ট একটা এলাকা দিয়ে, তাহলে কি অবস্থা হবে? এ অবস্থায় ধরে নিতে পারো $\psi$ remails practically sinusodial তবে $\lambda$ ও $A$ এর মান $x$ এর সাপেক্ষে পরিবর্তিত হয়।
ঠিক একইভাবে যখন $E < V$ হয় তখন $\psi$ is exponential.
\begin{equation}
\psi(x)=Ae^{\pm kx}, \text{with $k\equiv \sqrt{2m (V-E)}/ \hbar$} \label{eq:3}
\end{equation}
এবং $V(x)$ ধ্রুবক নয় এবং পরিবর্তিত হয় $1/k$ এর সাপেক্ষে। ফলে সমাধান remails practically exponential শুধু $A$ এবং $k$ এখন $x$ এর সাপেক্ষে পরিবর্তিত হয়। এই পর্যন্ত সবই ঠিক ছিলো, শুধু একটামাত্র জায়গায় পুরো জিনিষটা গুবলেট হয়ে যায়। সেটা হলো যখন $E \approx V$ হয় । এটাকে বলা হয় classical turning point। এখানে $\lambda$ বা $1/k$ যদি infinity তে যায়, তখন $V(x)$ আস্তে আস্তে পরিবর্তন আর হয় না।
শ্রোয়েডিঞ্জার সমীকরণকে
\begin{equation}
-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{d^2 \psi}{dx^2}+V(x)\psi=E\psi \label{eq:4}
\end{equation}
এভাবে লেখা যায়-
\begin{equation}
\dfrac{d^2 \psi}{dx^2}+V(x)\psi= -\dfrac{p^2}{\hbar^2} \psi \label{eq:5}
\end{equation}
যেখানে $p(x)\equiv \sqrt{2m [E-V(x)]}$ ভরবেগের ক্লাসিকাল সুত্র। এবার যদি $E>V$ এর জন্য $p(x)$ real। এটাকে ক্লাসিক্যাল region বলা হয়। আর $\psi$ একটা কমপ্লেক্স ফাংশন। যেটাকে amplitude $A$, phase $\phi(x)$ এর মাধ্যমে প্রকাশ করা যায় (দুটোই real)।
\begin{equation}
\psi(x)=A(x)e^{i\phi (x)}
\end{equation}
\begin{eqnarray}
\dfrac{d\psi}{dx}&=&(A^\prime +iA\phi^\prime)e^{i\phi}\\
\dfrac{d^2\psi}{dx^2}&=&[A^{\prime \prime} +2iA\phi^\prime-A(\phi^\prime)^2]e^{i\phi}\label{eq:6}
\end{eqnarray}
এখন উপরের equation এর বসায় পাই -
\begin{equation}
A^{\prime \prime} +2iA\phi^\prime-A(\phi^\prime)^2=-\dfrac{p^2}{\hbar^2}A \label{eq:7}
\end{equation}
এটাকে ভেঙ্গে দুইটা সমীকরনে ভাগ করা যায়-
\begin{eqnarray}
A^{\prime \prime} A(\phi^\prime)^2&=&-\dfrac{p^2}{\hbar^2}A\\
A^{\prime \prime} &=&A\left[ (\phi^\prime)^2-\dfrac{p^2}{\hbar^2} \right] \label{eq:8}
\end{eqnarray}
এবং
\begin{eqnarray}
A^2\phi^\prime&=&C^2\\
A&=&\dfrac{C}{\sqrt{\phi^\prime}} \label{eq:9}
\end{eqnarray}
$\eqref{eq:8}$ কে সরাসরি সমাধান করা যায় না, এজন্য approximation ব্যাবহার করা হয়। যেহেতু Amplitude $A$ খুব ধীরে ধীরে পরিবর্তন হচ্ছে, সেহেতু $A^\prime \prime$ কে নগন্য ধরে নেয়া যায়। তাহলে বাকি থাকলো-
\begin{eqnarray}
(\phi^\prime)^2&=&\dfrac{p^2}{\hbar^2}\\
\dfrac{d\phi}{dx}&=&\pm \dfrac{p}{\hbar}\\
\phi(x)&=&\pm\dfrac{1}{\hbar}\int p(x) dx \label{eq:10}\\
\end{eqnarray}
তাহলে আমাদের ওয়েভ ফাংশন দাড়ায়=
\begin{equation}
\psi(x)\cong \dfrac{C}{\sqrt{p(x)}}e^{\pm \frac{1}{\hbar}\int p(x)dx} \label{eq:11}
\end{equation}
এতক্ষন দেখলে যদি $E > V$ এর ক্ষেত্রে $p(x)$ কে real ধরে কিভাবে হিসাব কষা যায়। কিন্তু যদি $E < V$ হয় তাহলে কি হবে? সেক্ষেত্রে এটাকে nonclassical region বলে ধরে নিতে পারো এক্ষেত্রে সমাধান আগের মতই তবে $p(x)$ এর মান imaginary হবে।
\begin{equation}
\psi(x)\cong \dfrac{C}{\sqrt{p(x)}}e^{\pm \frac{1}{\hbar}\int p(x)dx} \label{eq:11}
\end{equation}
পদার্থবিজ্ঞানের পাঠশালা