\chapter{Electromagnetic Radiation}\label{waves}
\section{Introduction}
In this chapter, we shall employ Maxwell's equations to investigate
the emission, scattering, propagation, absorption, reflection, and refraction of electromagnetic radiation.
\section{Hertzian Dipole}\label{s9.1}
মনেকরো তোমার কাছে দুটি স্ফেরিকাল পরিবাহী বল আছে। বল দুটি কে তুমি একটা তার দিয়ে সংযোগ দিলে। ফলে বল দুটির মধ্যে চার্জের পরিবহন শুরু হলো। ধরো $q(t)$ একটা কন্ডাক্টরের চার্জ । পুরো সিস্টেমটার মোট চার্জ শূন্য। তাহলে অন্য কন্ডাক্টরের চার্জ অবশ্যই $-q(t)$ হবে। ধরো-
\begin{equation}
q(t) = q_0\, \sin \,(\omega\, t).
\end{equation}
দুটো বলের মধ্যে যে oscillating current পরিবাহিত হচ্ছে তা ইলেক্ট্রোম্যাগনেটিক রেডিয়েশন তৈরি করছে। এবার একটা খুবই সাধারন পরিস্থিতির কথা চিন্তা করো। যেখানে রেডিয়েশনের তরঙ্গদৈর্ঘ্যের চেয়ে তারের দৈর্ঘ্য অনেক অনেক ছোট। সেক্ষেত্রে বল দুটো যুক্তকারি তারের মধ্যে পরিবাহিত কারেন্ট $I$ এর phase এর কোন পরিবর্তন হবেনা। কাজেই তোমরা লিখতে পারো-
\begin{equation}
I(t) = \frac{dq}{dt} = I_0\, \cos(\omega\, t),
\end{equation}
এখানে $I_0 = \omega \,q_0$. এধরনের অ্যান্টেনাকে Hertzian dipole বলে। জার্মান পদার্থবিজ্ঞানী Heinrich Hertz এর নাম অনুসারে।
The magnetic vector potential generated by a current distribution ${\bf j}({\bf r})$ এর কারনে যে ম্যাগনেটিক ভেক্টর বিভব (magnetic vector potential) সৃষ্টি হয় সেটাকে প্রকাশ করা যায় -
\begin{equation}
{\bf A}({\bf r}, t) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{[{\bf j}]}{|{\bf r} - {\bf r}'|}\,
d^3{\bf r}',
\end{equation}
যেখানে
\begin{equation}
[f] \equiv f({\bf r}', t - |{\bf r} - {\bf r}'|/c).
\end{equation}
এখন ধরো, তারটি $z$-অক্ষ বরাবর আছে , এবং এটি $z=-l/2$ থেকে $z=l/2$ পর্যন্ত বিস্তৃত। যদি তারের thickness তেমন বেশি না হয় তবে ${\bf j}({\bf r}', t- |{\bf r} - {\bf r}'|/c)\,d^3{\bf r}'$ কে $I({\bf r}', t - |{\bf r} - {\bf r}'|/c)\,dz' \,{\bf e}_z$ দিয়ে রিপ্লেস করা যায়।
সুতরাং , ${\bf A}({\bf r}, t) = A_z({\bf r}, t)\, {\bf e}_z$, এবং
\begin{equation}
A_z ({\bf r}, t) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{-l/2}^{l/2}
\frac{I(z', t - |{\bf r} - z'\, {\bf e}_z |/c)}{|{\bf r} - z'\, {\bf e}_z|}\,dz'.
\end{equation}
$r\gg l$ এ ,
\begin{equation}
|{\bf r} - z' \,{\bf e}_z| \simeq r,
\end{equation}
এবং
\begin{equation}
t - |{\bf r} - z' \,{\bf e}_z|/c \simeq t - r/c.
\end{equation}
এই approximation এ ধরে নেয়া হয়েছে যে $\Delta t \sim l/c$ যেটা কিনা error দিতে পারে । যদি $t$ এর মান নির্গত রেডিয়েশনের oscillation period এর থেকে ছোট হয় তাহলে সেটা তেমন কোন মূখ্য বিষয় হবে না। নতুবা রেডিয়েশনের phase এর মান ভুল আসবে। এটাকে ঠিক করার জন্য আরেকটা শর্ত যোগ করবো-
\begin{equation}
\frac{l}{c} \ll \frac{2\pi}{\omega},
\end{equation}
অর্থাৎ $l\ll \lambda$,
যেখানে $\lambda = 2\pi\, c/\omega$ নির্গত রেডিয়েশনের তরঙ্গদৈর্ঘ্য।
তবে কথা হলো, আমরা ধরেই নিয়েছি যে তারের দৈর্ঘ্য $l$ যা কিনা তরঙ্গদৈর্ঘ্যের থেকে অনেক অনেক ছোট, সুতরাং উপরের সমীকরনটি এমনি এমনিই satisfy করবে। এখন far-field এ $r\gg \lambda$, সুতরাং আমরা লিখতে পারি-
\begin{equation}
A_z ({\bf r}, t) \simeq \frac{\mu_0}{4\pi} \int_{-l/2}^{l/2} \frac{I(z', t -r/c)}{r}\,dz'.
\end{equation}
যেহেতু পরিবাহি কারেন্ট এর কোন পরিবর্তন হচ্ছেনা, সেহেতু এই ইন্টিগ্রেশনটার সমাধান করা খুবই সহজ সমাধান করলে দেখতে পাবে-
\begin{equation}\label{e9.10}
A_z({\bf r}, t) \simeq \frac{\mu_0 \,l}{4\pi} \frac{I(t-r/c)}{r}.
\end{equation}
এবার scalar potential বের করার জন্য সবচেয়ে সহজ উপায় হচ্ছে Lorenz gauge condition প্রয়োগ করা-
\begin{equation}
\nabla\cdot {\bf A} = - \epsilon_0 \mu_0\, \frac{\partial\phi}{\partial t}.
\end{equation}
এখন,
\begin{equation}
\nabla\cdot{\bf A} =\frac{\partial A_z}{\partial z} \simeq \frac{\mu_0 \,l}{4\pi}
\frac{\partial I(t-r/c)}{\partial t} \left(-\frac{z}{r^2 \,c}\right) +O\left(
\frac{1}{r^2}\right)
\end{equation}
leading order in $r^{-1}$ পপর্যন্ত বিবেচনা করেছি। কাজেই -
\begin{equation}\label{e9.13}
\phi({\bf r}, t) \simeq \frac{l}{4\pi\epsilon_0\, c} \frac{z}{r} \frac{I(t-r/c)}{r}.
\end{equation}
(\ref{e9.10}) ও (\ref{e9.13}) যথাক্রমে স্কেলার ও ভেক্টর পটেনশিয়াল নির্দেশ করে,
এখন এদের সংযুক্ত ইলেক্ট্রিক ও ম্যাগনেটিক ফিল্ড বের করার পালা
\begin{eqnarray}
{\bf E} &=& - \frac{\partial {\bf A}}{\partial t} - \nabla \phi,\\[0.5ex]
{\bf B} &=& \nabla\times {\bf A}.
\end{eqnarray}
খেয়াল করো, আমাদের মূল উদ্দেশ্য কিন্তু রেডিয়েশন ফিল্ড হিসাব করা। সোর্স থেকে যত দূরে যাবে এই ফিল্ডের মান $r^{-1}$ হারে কমতে থাকবে। এটা খুব সহজেই এই সমীকরনগুলির মাধ্যমে দেখা যায় -
\begin{equation}
{\bf E} \simeq - \frac{\omega\, l\, I_0}{4\pi\epsilon_0 \,c^2}\, \sin\theta \,
\frac{\sin[\omega\, (t-r/c)]}{r} \,{\bf e}_\theta,
\end{equation}
এবং
\begin{equation}
{\bf B} \simeq -\frac{\omega \,l \,I_0 }{4\pi \epsilon_0 \,c^3} \,\sin \theta \,\frac{\sin
[\omega \,(t-r/c)]}{r}\, {\bf e}_\varphi.
\end{equation}
এখানে , ($r$, $\theta$, $\varphi$) $z$-অক্ষ বরাবর পোলার কোঅর্ডিনেট। উপরের সমীকরণটি localized oscillating current দ্বারা তৈরি far field ($r\gg \lambda$) ইলেক্ট্রো ম্যাগনেটিক ফিল্ড এর জন্য প্রযোজ্য। খেয়াল করো এই ফিল্ডগুলি symmetric in
the azimuthal angle $\varphi$। এছাড়া oscillating
dipole ( $\theta =0$) এর অক্ষ বরাবর কোন রেডিয়েশন নাই। এবং সর্বোচ্চ emission হয় লম্বদিক বরাবর ( $\theta = \pi/2$)---see Figure~\ref{f91}.
\begin{figure}
\epsfysize=3.in
\centerline{\epsffile{chapter9/fig9.1.eps}}
\caption{\em Equally-spaced contours of the normalized poloidal electric field $E_\theta/E_0$ generated by
a Hertzian dipole in the $x$-$z$ plane at a fixed instant in time. Here, $E_0=\omega\,l\,I_0/4\pi\epsilon_0\,c^2$. }\label{f91}
\end{figure}
স্ফেরিকাল সার্ফেসে $A$ এর ব্যাসার্ধ $\lambda$ এর থেকে অনেক অনেক বেশি। সেক্ষেত্রে ডাইপলের সেন্টারের মধ্যে দিয়ে পরিবাহিত গড় শক্তি
\begin{equation}
P_{\rm rad} = \oint_S \langle {\bf u}\rangle\cdot d{\bf S},
\end{equation}
যেখানে গড়টি তরঙ্গের single period of oscillation এর উপর নেওয়া হয়েছে এবং Poynting flux কে লেখা যায়-
\begin{equation}
{\bf S} = \frac{ {\bf E} \times{\bf B}}{\mu_0} = \frac{\omega^2 \,l^2 \,I_0^{\,2}}
{16\pi^2 \epsilon_0\, c^3}\, \sin^2[\omega\,(t-r/c)] \,\frac{\sin^2\theta}{r^2}\,
{\bf e}_r.
\end{equation}
অর্থাৎ
\begin{equation}\label{e9.20}
\langle {\bf S}\rangle = \frac{\omega^2\, l^2\, I_0^{\,2}}{32\pi^2\epsilon_0\, c^3}\, \frac{\sin^2\theta}
{r^2}\, {\bf e}_r.
\end{equation}
এখানে লক্ষ্য করো যে energy flux সোর্সের থেকে radially outwards। এবং $A$ থেকে নির্গত শক্তি ফ্লাক্স হলো-
\begin{equation}
P_{\rm rad} = \frac{\omega^2 \,l^2\, I_0^{\,2}}{32\pi^2 \epsilon_0\, c^3}
\int_0^{2\pi} d\phi \int_0^\pi \frac{\sin^2\theta}{r^2} \,\, r^2\sin\theta\,\,
d\theta,
\end{equation}
এখান থেকে পাই-
\begin{equation}
P_{\rm rad} = \frac{\omega^2\, l^2\, I_0^{\,2}}{12\pi \epsilon_0\, c^3}.
\end{equation}
এই ফ্লাক্স $A$ এর ব্যাসার্ধের উপর নির্ভর করেনা।
তোমরা জানো যে $R$ রোধের গড় ওহমিক তাপ শক্তি-
\begin{equation}
P_{\rm heat} = \langle I^2 \,R\rangle = \frac{1}{2} I_0^{\,2}\, R,
\end{equation}
ধরো $I= I_0 \,\cos(\omega\, t)$। এখন Hertizian dipole antenna এর রেডিয়েশন রোধকে প্রকাশ করা যায় এভাবে-
\begin{equation}
R_{\rm rad} = \frac{P_{\rm rad}}{I_0^{\,2}/2},
\end{equation}
যাতে করে-
\begin{equation}
R_{\rm rad} = \frac{2\pi}{3\epsilon_0 \,c} \left(\frac{l}{\lambda}\right)^2,
\end{equation}
এখানে $\lambda = 2\pi\,c/\omega$ রেডিয়েশনের তরঙ্গদৈর্ঘ্য।
এমনকি,
\begin{equation}\label{e9.25}
R_{\rm rad} = 789 \left(\frac{l}{\lambda}\right)^2\,{\rm ohms}.
\end{equation}
এখন, ইলেক্ট্রিক সার্কিট এর সূত্র অনুযায়ী একটা অ্যান্টেনা সাধারনত এমন একটি রোধক হিসাবে ধরা হয় যার রোধ characteristic radiation resistance of the antenna এবং এর real
resistance এর যোগফল এর সমান ধরা হয়। এবং শক্তিক্ষয় The power loss $I_0^{\,2}\,R_{\rm rad}/2$ radiation resistance এর সাথে যুক্ত এবং এটা emission of electromagnetic radiation এর কারণে সৃষ্টি। অপরদিকে $ I_0^{\,2}\,R/2$ real resistance এর সাথে সম্পর্কিত এবং এটা ohmic heating of the antenna এর কারনে সৃষ্টি।
লক্ষ্য করো (\ref{e9.25}) শুধুমাত্র তখনই সত্যি হবে যদি $l\ll \lambda$ হয়। অর্থাৎ $R_{\rm rad} \ll R$ এবং অধিকাংশ Hertzian dipole antennas এর ক্ষেত্রে , রেডিয়েটেড শক্তি ohmic losses দ্বারা নির্ধারিত হয়। সুতরাং যেসব অ্যান্টেনার দৈর্ঘ্য emitted radiation এর দৈর্ঘ্যের চেয়ে ছোট হয় সেগুলোকে extremely inefficient হিসাবে ধরা হয়। কাজেই efficient antenna হবার জন্য $l\sim \lambda$ শর্তটি পূরন করা জরুরি। সবচেয়ে কমন প্র্যাকটিক্যাল অ্যান্টেনা হলো half-wave antenna যেখানে $l = \lambda/2$। একে series of Hertzian dipole antennas সিরিজ হিসাবে কল্পনা করা যায় যেখানে একটার উপর আরেকটা অ্যান্টেনা রেখে তৈরি। এবং একটি অ্যান্টেনা অন্যটির phase থেকে সামান্য একটু পার্থক্য। তাহলে half-wave antenna এর characteristic radiation resistance-
\begin{equation}
R_{\rm rad} = \frac{ 2.44}{4\pi\epsilon_0 \,c} = 73 \,\,{\rm ohms}.
\end{equation}
অ্যান্টেনা কে electromagnetic radiation রিসিভ করার জন্যেও ব্যবহার করা হয়। অ্যান্টেনার incoming wave , voltage তৈরি করে যেটা অ্যান্টেনার সাথে যুক্ত ইলেক্ট্রিকাল সার্কিট এ ডিটেক্ট করা যায় । Hertzian dipole antenna এর অক্ষ বরারবর রেডিয়েশন ডিটেক্ট করতে পারেনা, শুধু লম্ব বরাবর রেডিয়েশন ডিটেক্ট করতে সক্ষম।
তত্ত্বগতভাবে একটা অ্যান্টেনা voltage source হিসাবে কল্পনা করা যায়। একটা অ্যান্টেনাতে ইনকামিং ওয়েভেকে ভোল্টেজ $V_0\,\cos(\omega \,t)$,এর মাধ্যমে প্রকাশ করা হলো। তাহলে রোধক
$R_{\rm rad}$ এর মাধ্যমে কি পরিমান re-radiated শক্তি নির্গত হবে সেটা নির্দেশ করবে (এখানে real resistance কে নগন্য ধরা হয়েছে)।
ধরো the detector circuit কে single load resistor এর মাধ্যমে প্রকাশ করা হলো , $R_{\rm load}$, এবং এটা অ্যান্টেনার সিরিজের সাথে যুক্ত। সুতরাং $R_{\rm load}$ এর কোন মানের জন্যে সর্ব্বোচ্চ শক্তি নির্গত হবে? ওহমের সূত্র অনুযায়ী-
\begin{equation}
V=V_0 \,\cos(\omega\, t) = I_0\, \cos(\omega\, t)\, (R_{\rm rad} + R_{\rm load}),
\end{equation}
যেখানে $I= I_0\,\cos(\omega\, t)$ হলো সার্কিটের induced বিদ্যুৎ। সার্কিটের পাওয়ার ইনপুটকে লেখা যায়-
\begin{equation}
P_{\rm in} = \langle V\,I\rangle = \frac{V_0^{\,2}}{2\,(R_{\rm rad} + R_{\rm load})}.
\end{equation}
লোডের power transfer কে প্রকাশ করা যায়-
\begin{equation}
P_{\rm load} = \langle I^2 \,R_{\rm load}\rangle = \frac{R_{\rm load} \,V_0^{\,2}}
{2\,(R_{\rm rad} + R_{\rm load})^2}.
\end{equation}
এবং একটা অ্যান্টেনা দ্বারা power re-radiated কে লিখা যায়-
\begin{equation}
P_{\rm rad} = \langle I^2 \,R_{\rm rad}\rangle = \frac{R_{\rm rad} \,V_0^{\,2}}
{2\,(R_{\rm rad} + R_{\rm load})^2}.
\end{equation}
লক্ষ্য করো- $P_{\rm in} = P_{\rm load} + P_{\rm rad}$, সুতরাং লোডে সর্বোচ্চ শক্তি তখনই আসবে যখন
\begin{equation}
\frac{\partial P_{\rm load}}{\partial R_{\rm load}} = \frac{V_0^{\,2}}{2}\left[
\frac{R_{\rm rad} - R_{\rm load}}{(R_{\rm rad} + R_{\rm load})^3}\right] = 0.
\end{equation}
সুতরাং maximum transfer rate কে লেখা যায়-
\begin{equation}
R_{\rm load} = R_{\rm rad}.
\end{equation}
অন্যভাবে বলা যায় লোড সার্কিটের রোধ, অ্যান্টেনার রেডিয়েশন রোধের পরিপূরক হবে। এইক্ষেত্রে
\begin{equation}
P_{\rm load} = P_{\rm rad} = \frac{V_0^{\,2}}{8 \,R_{\rm rad}} = \frac{P_{\rm in}}{2}.
\end{equation}
সুতরাং optimum ক্ষেত্রে অ্যান্টেনা দ্বারা যে পরিমান শক্তি absorbed হয় তার অর্ধেক সাথে সাথেই re-radiated হয়ে যায়। সুতরাং একটা অ্যান্টেনা electromagnetic radiation রিসিভও করে এবং বিকিরনও করে।
Hertzian dipole অ্যান্টেনা যেটার incoming wave যার electric field এর amplitude $E_0$, আমরা ধরে নিতে পারি
\begin{equation}
V_0 = E_0\, l.
\end{equation}
এখানে আমরা ধরে নিয়েছি রেডিয়েশনের তরঙ্গদৈর্ঘ্য, অ্যান্টেনার দৈর্ঘ্যের থেকে অনেক অনেক বড়। আমরা আরো ধরে নিয়েছি যে অ্যান্টেনাটি properly aligned (অর্থাৎ the radiation is incident perpendicular to the axis of the antenna)। এখন আগত তরঙ্গের Poynting flux -
\begin{equation}
\langle u_{\rm in}\rangle = \frac{\epsilon_0\, c\, E_0^{\,2}}{2},
\end{equation}
যেখানে power transferred to a properly matched detector circuit কে লেখা যায়-
\begin{equation}
P_{\rm load} = \frac{E_0^{\,2} \,l^2}{8\, R_{\rm rad}}.
\end{equation}
ধরো একটা আইডিয়াল অ্যান্টেনা যেখানে incoming radiation একটা area $A_{\rm eff}$ এর উপর আপতিত হয়ে absorbed হয়ে যাচ্ছে, এবং কোনভাবে সেটা ডিটেক্টর সার্কিটে ট্রান্সফার হচ্ছে কিন্তু কোন re-radiation হচ্ছে না। এবং আইডিয়াল অ্যান্টেনার power absorbed আর real antenna এর power absorbed সমান। এরমানে এই যে
\begin{equation}
P_{\rm load} = \langle u_{\rm in}\rangle\, A_{\rm eff}.
\end{equation}
এখানে $A_{\rm eff}$ হচ্ছে অ্যান্টেনার effective area। এটি আইডিয়াল অ্যান্টেনার এমন একটি স্থান যেখানে absorbs net power সত্যিকারের অ্যান্টেনার সমান। সুতরাং,
\begin{equation}
P_{\rm load} =\frac{ E_0^{\,2}\, l^2}{8 \,R_{\rm rad} } = \frac{\epsilon_0\, c\, E_0^{\,2}}{2}
\,A_{\rm eff},
\end{equation}
থেকে পাই-
\begin{equation}
A_{\rm eff} = \frac{l^2}{4\epsilon_0 \,c\, R_{\rm rad}} = \frac{3}{8\pi}\,\lambda^2.
\end{equation}
অর্থাৎ এটা পরিস্কার যে Hertzian dipole antenna র effective area আগত রেডিয়েশনের তরঙ্গদৈর্ঘ্যের বর্গের সমানুপাতিক।
সুতরাং একটা half-wave antenna এর জন্যে
\begin{equation}
A_{\rm eff} = 0.13\,\lambda^2.
\end{equation}
তাই একটা one-dimensional অ্যান্টেনা যার দৈর্ঘ্য $\lambda/2$, আসলে অনেকটা two-dimensional এর মতন কাজ করে, যার প্রস্থ $0.26\,\lambda$, as far as its
absorption of incoming electromagnetic radiation is concerned.
পদার্থবিজ্ঞানের পাঠশালা