ধরো একটা perturbation যেটা সময়ের সাথে সাথে sinusoidally স্পন্দিত হচ্ছে। এধরনের perturbation কে harmonic perturbation বলে। সুতরাং
\begin{equation}\label{e6.227}
H_1(t) = V\,\exp(\,{\rm i}\,\omega \,t) + V^\dagger \,\exp(-{\rm i}\,\omega\, t),
\end{equation}
এখানে $V$ অবস্থান, ভরবেগ ও স্পিন অপারেটরের ফাংশন।
unperturbed Hamiltonian $H_0$ এর eigenstate $|i\rangle$ এর কথা ধরা যাক। মনে করো $t=0$ সময়ে Harmonic perturbation শুরু হলো।
তাহলে এটাকে (\ref{e6.202}) সমীকরণের সাহায্যে লেখা যায় এভাবে-
\begin{align}\label{e6.228}
c_n^{(1)} &= \frac{-{\rm i}}{\hbar} \int_0^t dt'\left[V_{ni} \,\exp({\rm i}\,\omega
\,t') + V_{ni}^\dagger\, \exp(-{\rm i}\,\omega\, t')\right]\exp(\,{\rm i}\,
\omega_{ni}\, t')\nonumber\\[0.5ex]
&= \frac{1}{\hbar} \left(\frac{1-\exp[\,{\rm i}\,(\omega_{ni} + \omega)\,t]}
{\omega_{ni} + \omega}\, V_{ni}+\frac{1-\exp[\,{\rm i}\,(\omega_{ni}-\omega
)\,t]}
{\omega_{ni} - \omega} \,V_{ni}^{\,\dagger}\right),
\end{align}
যেখানে
\begin{align}\label{e6.229}
V_{ni} &= \langle n|\,V\,| i\rangle,\\[0.5ex]
V_{ni}^\dagger &= \langle n |\,V^\dagger\, |i\rangle = \langle i|\,V\,|n\rangle^\ast.\label{e6.230}
\end{align}
এই ফর্মূলাটা আগের একটা অধ্যায়ে বর্ণনা করা সমীকরণ (\ref{e6.209}) এর সাথে মিলে যায়, এখান থেকে লিখতে পারো-
\begin{equation}
\omega_{ni} = \frac{E_n-E_i}{\hbar} \rightarrow \omega_{ni}\pm \omega.
\end{equation}
\ref{s8.6} পরিচ্ছেদের আলোচনা থেকে transition probability কে লেখা যায়-
$t\rightarrow\infty$ লিমিটে $P_{i\rightarrow n}(t)=|c_n^{(1)}|^{\,2}$ তখনই সত্যি হবে যদি-
\begin{align}\label{e6.232}
\omega_{ni} + \omega \simeq 0 &~~~{\rm or}~~~ E_n \simeq E_i - \hbar\, \omega,\\[0.5ex]
\omega_{ni} - \omega \simeq 0 &~~~{\rm or}~~~ E_n \simeq E_i + \hbar\, \omega.\label{e6.233}
\end{align}
এটা পরিস্কার যে সমীকরণ (\ref{e6.232}) আসলে সমীকরণ (\ref{e6.228}) এর ডানপক্ষের প্রথম পদ এবং সমীকরণ (\ref{e6.233}) এর দ্বিতীয় পদকে নির্দেশ করে।
যদি ফাইনাল স্টেটের এনার্জি লেভেল $\hbar\,\omega$ এর থেকে কম হয়, তবে প্রথম পদ দ্বারা perturbing field এ সিস্টেম কি পরিমান শক্তি $\hbar\,\omega$ নির্গমন করেছে সেটা নির্দেশ করে। একে stimulated emission বলে। এবং দ্বিতীয় পদ দ্বারা সিস্টেম ফাইনাল স্টেটে যাবার সময় ($\hbar\,\omega$ এর থেকে বেশি) perturbing field থেকে কি পরিমান শক্তি $\hbar\,\omega$ অর্জন করেছে সেটা নির্দেশ করে। একে absorption বলে। উভয় ক্ষেত্রেই সিস্টেমের total energy conserved থাকে।
সুতরাং (\ref{e6.222}) সমীকরণ থেকে লেখা যায় -
\begin{align}\label{e6.234}
w_{i\rightarrow [n]} &=\left. \frac{2\pi}{\hbar} \,\overline{|V_{ni}|^{\,2}}\,\rho(E_n)
\right|_{E_n = E_i-\hbar\,\omega},\\[0.5ex]
w_{i\rightarrow [n]} &=\left. \frac{2\pi}{\hbar} \,\overline{
|V_{ni}^\dagger|^{\,2}}\,\rho(E_n)\right|_{E_n = E_i+\hbar\,\omega}.\label{e6.235}
\end{align}
সমীকরণ (\ref{e6.234}), simulated emission এর transition rate নির্দেশ করে। অপরদিকে সমীকরণ (\ref{e6.235}) থেকে absorption এর transition rate পাওয়া যায়।
এই সমীকরণগুলি সাধারনত লিখা হয়-
\begin{align}\label{e6.236a}
w_{i\rightarrow n} &= \frac{2\pi}{\hbar} \,|V_{ni}|^{\,2}
\, \delta(E_n-E_i+\hbar\,\omega),\\[0.5ex]
w_{i\rightarrow n} &= \frac{2\pi}{\hbar} \,
|V_{ni}^\dagger|^{\,2}\,\delta(E_n -E_i-\hbar\,\omega).\label{e6.237}
\end{align}
(\ref{e6.229}) ও (\ref{e6.230}) থেকে এটা পরিস্কার যে $|V_{in}^\dagger|^{\,2} = |V_{ni}|^{\,2}$। এবং সমীকরণ (\ref{e6.234}) ও (\ref{e6.235}) থেকে লেখা যায় যে-
\begin{equation}
\frac{w_{i\rightarrow [n]}}{\rho(E_n)} = \frac{w_{n\rightarrow [i]}}{\rho(E_i)}.
\end{equation}
অন্য ভাষায়, stimulated emission হার ও final state এর density (for emission) এর অনুপাত এবং rate of absorption ও final states এর density (for absorption) সমান। এই ফলাফলটি absorption ও stimulated emission এর মধ্যে সম্পর্ক নির্দেশ করে। একে detailed balancing বলে। Statistical mechanics এ এটি খুবই গুরুত্বপূর্ণ।
পদার্থবিজ্ঞানের পাঠশালা