ধরে নাও , আপতিত ওয়েভফাংশনটি $z$-অক্ষের সমান্তরাল এবং এর ওয়েভভেক্টর ${\bf k}$ এবং বিচ্ছুরন ওয়েভফাংশন এর ওয়েভভেক্টর ${\bf k}'$। এখানে ${\bf k}$ আর ${\bf k}'$ এর মান সমান, কিন্তু তাদের দিক ভিন্ন। মনেকরো ${\bf k}'$ ভেক্টরটি ${\bf k}$ এর সাথে $\theta$ আর $z$-অক্ষের সাথে $\varphi$ দিগাংশিক কোন তৈরি করে। সমীকরণ (\ref{e7.38}) থেকে এটুকু বলা যায় যে একটি সুষম গোলকীয় বিচ্ছুরন বিভব [অর্থাৎ , $V({\bf x}) = V(r)$] এর জন্যে বিচ্ছুরনের বিস্তার (scattering amplitude) শুধুমাত্র $\theta$ এর একটি ফাংশন।
\begin{equation}
f(\theta, \varphi) = f(\theta).
\end{equation}
অর্থাৎ আমাদের আপতিত ওয়েভফাংশন,
\begin{equation}\label{e7.52}
\phi({\bf x}) = \frac{\exp(\,{\rm i}\,k\,z)}{(2\pi)^{3/2}}= \frac{\exp(\,{\rm i}\,k\,r\cos\theta)}{(2\pi)^{3/2}},
\end{equation}
অথবা সম্পূর্ন ওয়েভফাংশন,
\begin{equation}\label{e7.53}
\psi({\bf x}) = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}
\left[ \exp(\,{\rm i}\,k\,r\cos\theta) + \frac{\exp(\,{\rm i}\,k\,r)\, f(\theta)}
{r} \right],
\end{equation}
কোনটাই দিগংশিক কোন (azimuthal angle) $\varphi$ এর উপর নির্ভর করে না। বিচ্ছুরন বিভবের ক্ষেত্রের বাইরে $\phi({\bf x})$ আর $\psi({\bf x})$ উভয়ই শ্রোয়েডিঞ্জারের সমীকরণ মেনে চলে
\begin{equation}\label{e7.54}
(\nabla^2 + k^2)\,\psi = 0.
\end{equation}
গোলকীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় এই সমীকরণের একটা সাধারন সমাধান
\begin{equation}\label{e7.55}
\psi(r,\theta) = \sum_{l=0,\infty} R_l(r)\, P_l(\cos\theta),
\end{equation}
খেয়াল করো এই সমাধানটি শুধুমাত্র $\theta$ এর উপর নির্ভরশীল কিন্তু দিগংশীয় কোন $\varphi$ এর উপর নির্ভর করেনা।
Legendre polynomials $P_l(\cos\theta)$ কে লেখা যায়- ( অধ্যায় ~\ref{ch4} দেখো)
\begin{equation}
P_l(\cos\theta) = \sqrt{\frac{4\pi}{2\,l+1}}\, Y_{l\,0}(\theta,\varphi).
\end{equation}
(\ref{e7.54}) আর (\ref{e7.55}) থেকে লেখা যায়-
\begin{equation}
r^2\frac{d^2 R_l}{dr^2} + 2\,r \frac{dR_l}{dr} + [k^2 \,r^2 -
l\,(l+1)]\,R_l = 0.
\end{equation}
এই সমীকরণের সমাধান দুটি যথাক্রমে spherical Bessel function $j_l(k\,r)$, এবং Neumann function,
$\eta_l(k\,r)$,
যেখানে
\begin{align}\label{e7.58a}
j_l(y) &= y^l\left(-\frac{1}{y}\frac{d}{dy}\right)^l \frac{\sin y}{y},
\\[0.5ex]\label{e7.58b}
\eta_l(y) &= -y^l\left(-\frac{1}{y}\frac{d}{dy}\right)^l \frac{\cos y}{y}.
\end{align}
খেয়াল করো যে $y\rightarrow 0$ সীমার মধ্যে spherical Bessel functions (well-behaved) কিন্তু $y\rightarrow 0$ তে Neumann functions singular হয়ে যায়। তবে $y\rightarrow
\infty$ লিমিটে এই ফাংশন দুটির asymptotic behaviour কে লেখা যায়-
\begin{align}\label{e7.59a}
j_l(y) &\rightarrow \frac{\sin(y - l\,\pi/2)}{y},\\[0.5ex]
\eta_l(y) &\rightarrow - \frac{\cos(y-l\,\pi/2)}{y}.\label{e7.59b}
\end{align}
আমরা লিখতে পারি-
\begin{equation}
\exp(\,{\rm i}\,k\,r \cos\theta) = \sum_{l=0,\infty} a_l\, j_l(k\,r)\, P_l(\cos\theta),
\end{equation}
এখানে $a_l$ একটি ধ্রুব সংখ্যা। লক্ষ্য করে দেখো, এই বিস্তারে (expansion) Neumann function নেই কারণ $r \rightarrow 0$ সীমাতে এগুলো (well-behaved) নয়। এখন আমরা জানি Legendre polynomials গুলি সমকোনীয়,
\begin{equation}\label{e7.61}
\int_{-1}^1 d\mu\,P_n(\mu) \,P_m(\mu) = \frac{\delta_{n\,m}}{n+1/2},
\end{equation}
সুতরাং উক্ত ফাংশনের বিপরীত ফাংশনকে লেখা যায়-
\begin{equation}
a_l \,j_l(k\,r) = (l+1/2)\int_{-1}^1 d\mu\,\exp(\,{\rm i}\,k\,r \,\mu) \,P_l(\mu).
\end{equation}
আমরা জানি যে-
\begin{equation}
j_l(y) = \frac{(-{\rm i})^l}{2} \int_{-1}^1 d\mu\, \exp(\,{\rm i}\, y\,\mu)
\,P_l(\mu),
\end{equation}
এখানে $l=0, \infty$। সুতরাং,
\begin{equation}
a_l = {\rm i}^l \,(2\,l+1),
\end{equation}
থেকে পাই
\begin{equation}
\exp(\,{\rm i}\,k\,r \cos\theta) = \sum_{l=0,\infty} {\rm i}^l\,
(2\,l+1)\, j_l(k\,r)\, P_l(\cos\theta).
\end{equation}
এই সমীকরণ ব্যবহার করে একটা plane তরঙ্গ কে একাধিক গোলকীয় তরঙ্গে ( partial waves) পরিনত করা যায়।
বিচ্ছুরন ক্ষেত্রের বাইরে সম্পূর্ন ওয়েভফাংশনের সাধারন সমাধান
\begin{equation}
\psi({\bf x}) = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \sum_{l=0,\infty}\left[
A_l\,j_l(k\,r) + B_l\,\eta_l(k\,r)\right] P_l(\cos\theta),
\end{equation}
এখানে $A_l$ আর $B_l$ ধ্রুব সংখ্যা। (\ref{e7.59a})--(\ref{e7.59b}) সমীকরণগুলি ব্যবহার করে ওয়েভফাংশনটি দাড়ায়-
\begin{equation}
\psi ({\bf x} ) \simeq \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \sum_{l=0,\infty}\left[A_l\,
\frac{\sin(k\,r - l\,\pi/2)}{k\,r} - B_l\,\frac{\cos(k\,r -l\,\pi/2)}{k\,r}
\right] P_l(\cos\theta),
\end{equation}
উপরের সমীকরণটির sin ও cosine ত্রিকোনমিতির সূত্র ব্যবহার করে দশার পরিবর্তন (phase shift) $\delta_l$ এর সাপেক্ষে এভাবেও লেখা যায়-
\begin{equation}\label{e7.68}
\psi ({\bf x} ) \simeq \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \sum_l C_l\,
\frac{\sin(k\,r - l\,\pi/2+ \delta_l)}{k\,r}\, P_l(\cos\theta),
\end{equation}
সমীকরণ (\ref{e7.68}) থেকে পাই-
\begin{equation}
\psi({\bf x}) \simeq \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \sum_l C_l\,
\frac{\exp[\,{\rm i}\,(k\,r - l\,\pi/2+ \delta_l)]
-\exp[-{\rm i}\,(k\,r - l\,\pi/2+ \delta_l)] }{2\,{\rm i}\,k\,r}\, P_l(\cos\theta),\label{e7.69}
\end{equation}
এটি অভিমূখি ও বহির্গামী দুইধরনের গোলকীয় তরঙ্গকেই প্রকাশ করে। এখন প্রশ্ন হলো, অভিমূখি তরঙ্গের উৎসটা কি? যখন $r$ এর মান খুব বড় হয় তখন অভিমূখী তরঙ্গ আসলে আপতিত ওয়েভফাংশনের একটা অংশ হিসাবে থাকে। উপরের সমীকরণ থেকে এটা সহজেই দেখা যায়-
\begin{equation}
\phi({\bf x}) \simeq \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \sum_{l=0,\infty} {\rm i}^l\,
(2l+1)\, \frac{
\exp[\,{\rm i}\,(k\,r - l\,\pi/2)]
-\exp[-{\rm i}\,(k\,r - l\,\pi/2)]}{2\,{\rm i}\,k\,r} \, P_l(\cos\theta),\label{e7.70}
\end{equation}
সমীকরণ (\ref{e7.52}) আর (\ref{e7.53}) থেকে লেখা যায়-
\begin{equation}\label{e7.71}
(2\pi)^{3/2}[\psi({\bf x} )- \phi({\bf x}) ] =
\frac{\exp(\,{\rm i}\,k\,r)}{r}\,
f(\theta).
\end{equation}
এই সমীকরণের ডানপাশের রাশিগুলি শুধুমাত্র বহির্গামী গোলকীয় তরঙ্গকে প্রকাশ করে। এখন (\ref{e7.69}) আর (\ref{e7.70}) থেকে পাওয়া যায়-
\begin{equation}
C_l = (2\,l+1)\,\exp[\,{\rm i}\,(\delta_l + l\,\pi/2)].
\end{equation}
আর (\ref{e7.69})--(\ref{e7.71}) সমীকরণগুলি ব্যবহার করে লিখতে পারি
\begin{equation}\label{e7.73}
f(\theta) = \sum_{l=0,\infty} (2\,l+1)\,\frac{\exp(\,{\rm i}\,\delta_l)}
{k} \,\sin\delta_l\,P_l(\cos\theta).
\end{equation}
সুতরাং বিচ্ছুরনের প্রসার (amplitude) $f(\theta)$ নির্ণয় করার জন্যে একাধিক partial wave (বা গোলকীয় তরঙ্গ) এ ভাগ করে ফেলা আর ঐ তরঙ্গের দশা পার্থক্য (phase-shifts) $\delta_l$ হিসেব করার সমতুল্য।
পদার্থবিজ্ঞানের পাঠশালা