এইবার চলো দেখি, কিভাবে দশা-পার্থক্যগুলি (phase-shift) $\delta_l$ মান হিসেব কষে বের করা যায়। মনে করো একটি সুষম গোলকীয় বিভব $V(r)$ যেটা $a$ ব্যাসার্ধ পর্যন্ত বিস্তৃত। কোন দূরত্ব r $r>a$ হলে সেখানে এই বিভব কাজ করেনা। সুতরাং যেখানে $r>a$, সেখানে ওয়েভফাংশন $\psi({\bf x})$ শ্রোয়েডিঞ্জারের সমীকরণ (\ref{e7.54}) মেনে চলে। যদি বাইরে থেকে আর কোনো গোলকীয় তরঙ্গ না আসে তাহলে -
\begin{equation}
\psi({\bf x}) = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}} \sum_{l=0,\infty}
{\rm i}^l\, (2\,l+1) \, A_l(r)\, P_l(\cos\theta),
\end{equation}
যেখানে
\begin{equation}\label{e7.80}
A_l(r) = \exp(\,{\rm i} \,\delta_l)\,
\left[ \cos\delta_l \,j_l(k\,r) -\sin\delta_l\, \eta_l(k\,r)\right].
\end{equation}
লক্ষ্য করো উপরের সমীকরণে Neumann function টি দেখা যাচ্ছে। The logarithmic derivative of the $l$th radial ওয়েভফাংশন $A_l(r)$ কে ডিফারেন্সিয়েশন করে যদি তার log নেওয়া হয়, তবে সেটা বিভবের ক্ষেত্রের বাইরে চলে যায়।
\begin{equation}
\beta_{l+} = k\,a \left[\frac{ \cos\delta_l\,j_l'(k\,a) -
\sin\delta_l\, \eta_l'(k\,a)}{\cos\delta_l \,
j_l(k\,a) - \sin\delta_l\,\eta_l(k\,a)}\right],
\end{equation}
এখানে $j_l'(x)$ বলতে $x$ এর সাপেক্ষে $j_l(x)$ এর ডেরিভেটিভ (অর্থাৎ $dj_l(x)/dx$) বোঝানো হয়েছে। উপরের সমীকরণের বিপরীত ফাংশন হচ্ছে-
\begin{equation}\label{e7.82}
\tan \delta_l = \frac{ k\,a\,j_l'(k\,a) - \beta_{l+}\, j_l(k\,a)}
{k\,a\,\eta_l'(k\,a) - \beta_{l+}\, \eta_l(k\,a)}.
\end{equation}
এখন তাহলে $\beta_{l+}$ কে যদি আমরা হিসেব কষে বের করতে পারি, তাহলেই দশা-পার্থক্য (phase-shift) $\delta_l$ এর মান বের হয়ে যাবে।
এখন ঐ বিভবের সীমানার মধ্যে শ্রোয়েডিঞ্জারে সমীকরণের সমাধান বের করবো। এখানে লক্ষ্যনীয় বিষয় হলো, ($r<$) এর মধ্যে শ্রোয়েডিঞ্জারে সমীকরণের সমাধান দিগংশীয় কোন $\varphi$ এর উপর নির্ভর করেনা। অর্থাৎ -
\begin{equation}
\psi({\bf x}) = \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\sum_{l=0,\infty}
{\rm i}^l \,(2\,l+1)\,R_l(r)\,P_l(\cos\theta),
\end{equation}
এখানে
\begin{equation}
R_l (r) = \frac{u_l(r)}{r},
\end{equation}
এবং
\begin{equation}\label{e7.85}
\frac{d^2 u_l}{d r^2} +\left[k^2 - \frac{2m}{\hbar^2} \,V - \frac{l\,(l+1)}
{r^2}\right] u_l = 0.
\end{equation}
তাহলে boundary শর্ত থেকে পাই-
\begin{equation}\label{e7.86}
u_l(0) = 0
\end{equation}
এবং এটি থেকে আমরা বুঝতে পারি, radial ওয়েভফাংশন , কেন্দ্রে well-behaved থাকে। তাহলে উক্ত সমীকরণটিকে সমাধান করার জন্য $r=0$ থেকে $r=a$ সীমার মধ্যে ইন্টিগ্রেশন করে পাই -
\begin{equation}
\beta_{l-} = \left.\frac{1}{(u_l/r)} \frac{d(u_l/r)}{dr}\right|_{r=a}.
\end{equation}
কারণ $\psi({\bf x})$ এবং এর প্রথম ডেরিভেটিভ দুটিই বাস্তব (physically acceptible) ওয়েভফাংশনের জন্যে অবিচ্ছিন্ন। এটা থেকে পাই-
\begin{equation}
\beta_{l+} = \beta_{l-}.
\end{equation}
তাহলে (\ref{e7.82}) সমীকরণ থেকে খুব সহজেই দশা-পার্থক্য (phase-shift) $\delta_l$ এর মান পাওয়া যাবে।
পদার্থবিজ্ঞানের পাঠশালা