নিম্নশক্তির ক্ষেত্রে ( অর্থাৎ যখন $1/k$ এর মান বিভবের range থেকে অনেক অনেক দূরে থাকে ) তখন partial তরঙ্গ যাদের $l>0$, তারা বিচ্ছুরন cross-section এর উপর অল্প হলেও প্রভাব ফেলে। এবং এধরনের শক্তির ক্ষেত্রে শুধুমাত্র $s$-তরঙ্গ বিচ্ছুরন মূল ভূমিকা রাখে।
একটা উদাহরন দেওয়া যাক, মনেকরো সসীম বিভবশক্তি কূপ থেকে বিচ্ছুরন ঘটছে। এখানে $r0$, তখন এটি বিকর্ষনধর্মী আর যখন $V_0<0$ তখন এটি আকর্ষন ধর্ম প্রকাশ করে। (\ref{e7.58a})--(\ref{e7.58b}) সমীকরণগুলিকে ব্যবহার করে বাহ্যিক ওয়েভফাংশন কে লেখা যায় [ (\ref{e7.80}) সমীকরণটি দেখো]
\begin{equation}
A_0(r) = \exp(\,{\rm i}\, \delta_0)\,\left[
j_0(k\,r) \cos\delta_0 - \eta_0(k\,r) \sin\delta_0\right]
= \frac{ \exp(\,{\rm i} \,\delta_0)\, \sin(k\,r+\delta_0)}{k\,r},
\end{equation}
আর (\ref{e7.85}) সমীকরণ এবং (\ref{e7.86}) এর boundary শর্ত ব্যবহার করে ভেতরের ওয়েভফাংশনকে লেখা যায় -
\begin{equation}\label{e7.103}
A_0(r) = B \,\frac{\sin (k'\,r)}{r},
\end{equation}
এখানে , $B$ একটি ধ্রুবক। এবং
\begin{equation}
E - V_0 = \frac{\hbar^2 \,k'^{\,2}}{2\,m}.
\end{equation}
এবার খেয়াল করো যে যখন $E>V_0$, শুধু তখনই সমীকরণ (\ref{e7.103}) টি ব্যবহার করা যায়। কিন্তু $EV_0$ এর জন্য পাই-
\begin{equation}\label{e7.107}
\tan(k\,a+\delta_0) = \frac{k}{k'} \,\tan (k'\,a)
\end{equation}
একইভাবে $EV_0$। ধরো পটেনশিয়াল কুপের গভীরতা আপতিত কণার শক্তির চেয়ে বেশি অর্থাৎ
$|V_0|\gg E$, ফলে এক্ষেত্রে $k' \gg k$ হবে। এখন যদি $\tan (k'\,a)$ না হয় তাহলে সমীকরণ (\ref{e7.107}) এর ডানপক্ষের মান unity থেকে অনেক ছোট হবে। সুতরাং আমরা লিখতে পারি
\begin{equation}
k\,a + \delta_0 \simeq \frac{k}{k'}\,\tan (k'\,a).
\end{equation}
তাহলে আমরা পাই-
\begin{equation}
\delta_0 \simeq k\,a \left[ \frac{\tan( k'\,a)}{k'\,a} -1\right].
\end{equation}
সমীকরণ (\ref{e7.99}) থেকে সহজেই বিচ্ছুরনের cross-section বের করা যায়-
\begin{equation}\label{e7.111}
\sigma_{\rm total} \simeq \frac{4\pi}{k^2} \sin^2\delta_0
=4\pi \,a^2\left[\frac{\tan (k'\,a)}{(k'\,a)} -1\right]^{\,2}.
\end{equation}
এখন ,
\begin{equation}\label{e7.112}
k'a = \sqrt{ k^2 \,a^2 + \frac{2 \,m \,|V_0|\, a^2}{\hbar^2}},
\end{equation}
এখন যদি $k\,a$ এর মান খুবই ছোট হয়, তাহলে লেখা যায় -
\begin{equation}
k' a \simeq \sqrt{\frac{2\, m \,|V_0|\, a^2}{\hbar^2}}.
\end{equation}
এর মানে হচ্ছে সম্পূর্ন ($s$-wave) বিচ্ছুরন cross-section আপতিত কণার শক্তির উপর নির্ভর করেনা ।
$l>0$ partial তরঙ্গগুলির প্রভাবে বাস্তবে cross-section এর মান কখনই পুরোপুরি শূন্য হয়না। কিন্তু যদি আপতিত কণার শক্তি অনেক কম হয়, এই প্রভাবও খুব বেশি জোড়ালো হয়না। অর্থাৎ বলা যায় $V_0$ আর $k$ এর এমন কিছু মান রয়েছে যেগুলোর জন্যে আপতিত তরঙ্গ পুরোপুরিভাবে সঞ্চারিত হতে পারে । এবং গবেষনায় হাতে-নাতে এই বিষয়টির প্রমান পাওয়া গেছে। একে Ramsauer-Townsend
effect বলে।
পদার্থবিজ্ঞানের পাঠশালা