ধরো $\sqrt{2\,m \,|V_0|\,a^2/\hbar^2}$ এর মান $\pi/2$ এর চেয়ে একটু কম। তাহলে আপতিত শক্তি যদি একটু একটু করে $k'a$ পরিমান বৃদ্ধি পায় ((\ref{e7.112}) দেখো ) , তাহলে এটির মান $\pi/2$ তে পৌছাতে পারবে। এক্ষেত্রে $\tan( k'\,a)$ এর মান অসীম হয়ে যাবে। তাহলে যখন আপতিত শক্তির মান $k'a = \pi/2$, তখন (\ref{e7.107}) সমীকরণ থেকে পাবো $k\,a+\delta_0 = \pi/2$ বা $\delta_0 \simeq \pi/2$ (কারন আমরা ধরেছি $k\,a\ll 1$)। সুতরাং আমরা লিখতে পারি-
\begin{equation}
\sigma_{\rm total} = \frac{4\pi}{k^2} \sin^2\delta_0 = 4\pi \,a^2
\left(\frac{1}{k^2 \,a^2}\right).
\end{equation}
এখন লক্ষ করো, এখানে cross-section টি শক্তির উপর নির্ভর করছে। এছাড়া $k'a\neq \pi/2$ এর জন্য cross-section এর মান (\ref{e7.111}) এর মানের থেকে অনেক অনেক বড় (কারণ $k\,a\ll 1$)।
এই ধরনের অদ্ভুত আচরনের কারণটা খুবই সাধারন।
\begin{equation}
\sqrt{\frac{2\,m\,|V_0 |\,a^2}{\hbar^2} } = \frac{\pi}{2}
\end{equation}
উপরের আরোপিত শর্তটি $V_0$ উচ্চতা বিশিষ্ট শক্তিবিহীন গোলকীয় কূপের উপর আরোপিত শর্তের সাথে মিল রয়েছে । তাহলে একটা বিভব কূপ যেটি উপরের সমীকরণ মেনে চলে সেটির থেকে যে বিচ্ছুরন ঘটে তার শক্তি সীমাবদ্ধ স্তরের শক্তির সমান। এই অবস্থায় একটি আপতিত কণা ঐ বিভবকূপের ভেতর bound state তৈরি করতে পারবে। তবে সেই bound state টি স্থায়ী হবেনা। কারন ঐ সিস্টেমের ভেতর অল্প কিছু শক্তি রয়ে গেছে , যেটা এই প্রক্রিয়াকে বাধা দেবে। এধরনের বিচ্ছুরনকে resonance বিচ্ছুরন বলা হয়। Resonance বিচ্ছুরনের cross-section সাধারনত non-resonance বিচ্ছুরনের থেকে বেশি ঘটে।
আমরা দেখেছি যে যখন $s$- তরঙ্গের দশার-পার্থক্য $\pi/2$ হয়, তখন সেখানে resonant effect ঘটে। $l=0$ partial তরঙ্গ তেমন উল্লেখযোগ্য প্রভাব ফেলেনা, তবে যখন $l$ তম partial তরঙ্গের মান $\pi/2$ হয়, তখন একইরকম অনুনাদ ঘটে থাকে। মনেকরো যখন $E_0$ তখন $\delta_l$ এর মান $\pi/2$, সুতরাং-
\begin{equation}
\delta_l(E_0) = \frac{\pi}{2}.
\end{equation}
এবার তাহলে $\cot \delta_l$ কে অনুনাদ শক্তির সাপেক্ষে বিস্তার করে পাই-
\begin{equation}
\cot \delta_l(E) = \cot \delta_l(E_0) +\left(
\frac{ d \cot\delta_l}{d E}\right)_{E=E_0}(E-E_0) + \cdots=- \left(\frac{1}{\sin^2\delta_l}\frac{d\delta_l}{d E}\right)_{E=E_0}
(E-E_0)+\cdots.
\end{equation}
এখানে ধরি
\begin{equation}
\left(\frac{d \delta_l(E)}{d E} \right)_{E=E_0} = \frac{2}{{\mit\Gamma}},
\end{equation}
তাহলে আমরা পাই-
\begin{equation}
\cot\delta_l(E) = - \frac{2}{{\mit\Gamma}} \,(E-E_0) + \cdots.
\end{equation}
সমীকরণ (\ref{e7.78}) থেকে আমরা জানি যে বিচ্ছুরন cross-section এর উপর $l$ তম partial তরঙ্গের প্রভাবকে লেখা যায়-
\begin{equation}
\sigma_l = \frac{4\pi}{k^2} \,(2\,l+1)\,\sin^2\delta_l
= \frac{4\pi}{k^2} \,(2\,l+1)\,\frac{1}{1+\cot^2\delta_l}.
\end{equation}
তাহলে আমরা পাচ্ছি-
\begin{equation}
\sigma_l \simeq \frac{4\pi}{k^2} \,(2\,l+1)\,
\frac{{\mit\Gamma}^{\,2}/4}{(E-E_0)^{\,2} + {\mit\Gamma}^{\,2}/4}.
\end{equation}
এটি অত্যন্ত সুপরিচিত Breit-Wigner এর সূত্র।
পদার্থবিজ্ঞানের পাঠশালা