আমাদের ধারনা কতটুকু সঠিক সেটা পরীক্ষা করে দেখা যাক। একটা সাধারন উদাহরণের কথাই চিন্তা করো। যেখানে শক্ত আবরন যুক্ত একটা গোলকীয় বিকিরণ ঘটছে। যখন $r0$, তখন $\delta_0$ এর তুলনায় $\delta_l$ এর মান খুব একটা গুরুত্ববহন করেনা। অন্যভাবে বলা যায় নিম্নশক্তির ক্ষেত্রে শুধুমাত্র $s$-তরঙ্গের বিচ্ছুরন (অর্থাৎ সুষম গোলকীয় বিচ্ছুরন) গুরুত্বপূর্ন। সমীকরণ (\ref{e7.33}), (\ref{e7.73}), এবং (\ref{e7.92}) থেকে পাই
\begin{equation}
\frac{d\sigma}{d{\mit\Omega}} = \frac{\sin^2 (k\,a)}{k^2} \simeq a^2
\end{equation}
যখন $k\,a\ll 1$।
\begin{equation}
\sigma_{\rm total} = \oint d{\mit\Omega}\,\frac{d\sigma}{d{\mit\Omega}} = 4\pi \,a^2
\end{equation}
এখানে সম্পূর্ন cross-section এর মান geometric cross-section $\pi \,a^2$ এর চারগুন।
({\rm i.e.}, the cross-section for classical particles bouncing off a hard sphere of radius $a$)। তবে, নিম্ন শক্তি বিচ্ছুরনে ক্ষেত্রে তুলনামূলকভাবে তরঙ্গদৈর্ঘ্য দীর্ঘ হয়, সুতরাং এক্ষেত্রে ক্লাসিকাল ফলাফল পাবার সম্ভাবনা খুবই কম।
এবার উচ্চশক্তি বিচ্ছুরনের কথা চিন্তা করো যেখানে $k\,a\gg 1$। উচ্চশক্তির ক্ষেত্রে, $l_{\rm max} = k\,a$ পর্যন্ত সকল partial তরঙ্গ বিচ্ছুরন cross-section এর জন্যে অবদান রাখে। সমীকরণ (\ref{e7.75}) থেকে পাই-
\begin{equation}\label{e7.99}
\sigma_{\rm total} = \frac{4\pi}{k^2} \sum_{l=0,l_{\rm max}}
(2\,l+1)\,\sin^2\delta_l.
\end{equation}
এখানে $l$ এর তুলনায় $\sin^2\delta_l$ পদটির অবদান খুবই নগন্য। সুতরাং ত্রিকোনমিত্রির সাহায্যে $\sin^2\delta_l$ এর বদলে এর গড় মান $1/2$ লিখতে পারি। তাহলে আমরা পাই-
\begin{equation}
\sigma_{\rm total} = \sum_{l=0,k\,a} \frac{2\pi}{k^2} \,(2\,l+1) \simeq
2\pi \,a^2.
\end{equation}
মজার ব্যাপার হলো এটি ক্লাসিকাল সমাধানের দ্বিগুন। পরবর্তী পরিচ্ছেদে আমরা নিম্নশক্তি বিচ্ছুরন নিয়ে আলোচনা করবো।
পদার্থবিজ্ঞানের পাঠশালা