মনে করো একটা সিস্টেমের Hamiltonian কে লেখা যায় এভাবে-
\begin{equation}
H = H_0 + H_1(t),
\end{equation}
যেখানে $H_0$ সময়ের উপর নির্ভর করেনে তবে $H_1$ হলো unperturbed Hamiltonian এবং এটি সময়ের উপর পুরোপুরিভাবে নির্ভরশীল। এবং $H_1< H_0 $। মনেকরো unperturbed Hamiltonian এর eigenkets হিসাব করা সম্ভব-
\begin{equation}
H_0 \,|n\rangle = E_n \,|n\rangle.
\end{equation}
তোমরা জানো যে যদি ঐ সিস্টেম $H_0$ এর কোন একটা eigenstates এ থাকে এবং বাইরে থেকে আর কোন perturbation প্রয়োগ না করা হয় তাহলে এই ঐ স্টেটে আজীবন থাকবে। তবে যদি ঐ সিস্টেমে কিছুটা time-dependent perturbation থাকে তাহলে তাত্ত্বিকভাবে বলাযায় যে ঐ সিস্টেমটা প্রাথমিকভাবে unperturbed Hamiltonian এর কোন একটা eigenstate $|i\rangle$ তে ছিলো এবং পরবর্তীতে অন্য আরেকটা এ পাওয়া যাবে ( কারণ $|i\rangle$ total Hamiltonianis এর exact eigenstate নয়)। অন্যভাবে বলা যায় time-dependent perturbation এর ক্ষেত্রে একটা সিস্টেম তার unperturbed energy eigenstates এর মধ্যে transitions করতে পারে। প্রশ্ন হলো এই transitions কিভাবে ঘটে?
ধরো $t=t_0$ তে একটা সিস্টেমের state কে লেখা যায়
\begin{equation}
|A\rangle = \sum_n c_n\, |n\rangle,
\end{equation}
যেখানে $c_n$ হচ্ছে জটিল সংখ্যা। সুতরাং প্রাথমিক স্টেট unperturbed energy eigenstates গুলির linear superposition হবে। যদি এখানে time-dependent perturbation না থাকে,তাহলে ঐ সিস্টেমের time evolution কে লেখা যায়-
\begin{equation}
|A, t_0, t\rangle = \sum_n c_n \exp[-{\rm i}\,E_n \,(t-t_0)/\hbar]\,|n\rangle.
\end{equation}
এখন ঐ সিস্টেমকে $t$ সময়ে $|n\rangle$ স্টেটে পাওয়ার সম্ভাব্যতা হলো
\begin{equation}
P_n(t) = |c_n \exp[-{\rm i}\,E_n (t-t_0)/\hbar]|^{\,2} = |c_n|^{\,2} = P_n(t_0).
\end{equation}
এটা পরিস্কার যে যদি $H_1= 0$ হয়ে, তাহলে ঐ সিস্টেমটাকে $t$ সময়ে $|n\rangle$ স্টেটে পাওয়ার সম্ভাব্যতা এবং $t_0$ সময়ে প্রাথমিক স্টেটে পাওয়ার সম্ভাব্যতা সমান। তবে, যদি $H_1\neq 0$ হয়, তাহলে ধরে নিতে পারো যে এই সম্ভাব্যতা $P_n(t)$ সময়ের সাথে সাথে পরিবর্তিত হয়। সুতরাং আমরা লিখতে পারি-
\begin{equation}\label{e6.150}
|A, t_0, t\rangle = \sum_n c_n(t) \exp[-{\rm i}\,E_n\,(t-t_0)/\hbar]\,|n\rangle,
\end{equation}
যেখানে $P_n(t) = |c_n(t)|^{\,2}$। এখানে আমরা eigenket গুলির fast phase oscillation (যা unperturbed Hamiltonian এর উপর নির্ভরশীল) কে slow variation of the amplitudes $c_n(t)$ (যা পুরোপুরিভাবে perturbation এর উপর নির্ভর করে ) থেকে আলাদা করেছি। অন্যভাবে বলাযায় যে, যদি $H_1=0$ হয় তবে $c_n$ এর মান ধ্রুবক। খেয়াল করো যে (\ref{e6.150}) সমীকরণে যে eigenkets $|n\rangle$ গুলি পাওয়া যায়, সেগুলো সময়ের উপর নির্ভর করেনা। এগুলি আসলে $t_0$ সময়ে পাওয়া $H_0$ এর eigenkets। শ্রোয়েডিঞ্জারের time evolution equation থেকে পাই-
\begin{equation}\label{e6.151}
{\rm i}\,\hbar\, \frac{\partial}{\partial t}\,|A, t_0, t\rangle =
H\,|A,t_0,t\rangle= (H_0+H_1) \,|A,t_0,t\rangle.
\end{equation}
সমীকরণ (\ref{e6.150}) থেকে পাওয়া যায়-
\begin{equation}
(H_0+H_1)\, |A,t_0,t\rangle = \sum_m c_m(t) \exp[-{\rm i}\,E_m\, (t-t_0)/\hbar]\,
(E_m + H_1)\,|m\rangle.
\end{equation}
আমরা আরও জানি
\begin{equation}
{\rm i}\,\hbar\, \frac{\partial}{\partial t}\,|A,t_0,t\rangle =
\sum_m \left({\rm i}\,\hbar \,\frac{d c_m}{dt}+ c_m(t)\, E_m\right)
\exp[-{\rm i}\,E_m \,(t-t_0)/\hbar]\, |m\rangle,
\end{equation}
যেখানে ket $|m\rangle$ এর time-independence কে ব্যবহার করা হয়েছে। সমীকরণ (\ref{e6.151}) অনুযায়ী, উপরের দুইটি সমীকরণের ডানপক্ষের সহগ সমাকৃত করে পাই
\begin{equation}
\sum_m {\rm i}\,\hbar\, \frac{d c_m}{dt}\exp[-{\rm i}\,E_m \,(t-t_0)/\hbar] \,|m\rangle = \sum_m c_m(t) \exp[-{\rm i}\,E_m \,(t-t_0)/\hbar]\,
H_1\, |m\rangle.
\end{equation}
$\langle n|$ দিয়ে বামপক্ষকে গুণ করে পাওয়া যায়-
\begin{equation}\label{e6.155}
{\rm i}\,\hbar\, \frac{d c_n}{dt} = \sum_m H_{nm}(t)\, \exp[\,{\rm i}\,\omega_{nm}\, (t-t_0)]\,
c_m(t),
\end{equation}
যেখানে
\begin{equation}
H_{nm}(t) = \langle n |\,H_1(t)\,|m \rangle,
\end{equation}
এবং
\begin{equation}
\omega_{nm} = \frac{E_n - E_m}{\hbar}.
\end{equation}
এখানে standard orthonormality এর ধর্ম ব্যবহার করে পাই $\langle n|m\rangle=\delta_{nm}$। ধরো এখানে unperturbed Hamiltonian এর $N$ সংখ্যক linearly independent eigenket রয়েছে । সমীকরণ ~(\ref{e6.155}), থেকে $c_n$ সহগের time variation এর মান পাওয়া যায়, এবং সেখান থেকে $t$ সময়ে ঐ সিস্টেমটিকে $|n\rangle$ শক্তিস্তরে (state) পাওয়ার সম্ভাবনাকে নির্দেশ করে এবং এটি $N$ coupled first-order differential equations দ্বারা নির্ধারিত হয়। লক্ষ্য করো যে, সমীকরণ (\ref{e6.155}) হলো exact, এখানে আমরা কোন ধরনের approximations ব্যবহার করিনি।
কিন্তু সমস্যা হলো, আমরা সাধারনভাবে এই সমীকরণের exact solutions বের করতে পারিনা। এজন্য এইক্ষেত্রে উপযুক্ত expansion এর মাধ্যমে approximate solutions বের করে থাকি। তবে , সাধারন two-state system (অর্থাৎ $N=2$) এর ক্ষেত্রে (\ref{e6.155}) সমীকরণকে কোন ধরনের approximation ছাড়াই সমাধান করা সম্ভব। এই সমাধানটি পদার্থবিজ্ঞানে গুরিত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে।
\section{Two-State System}
মনেকরো , একটা সিস্টেম , যেখানে time-independent Hamiltonian এর দুটি two eigenstates রয়েছে। সেগুলো হলো-
\begin{align}
H_0 \,|1\rangle &= E_1\, |1\rangle, \\[0.5ex]
H_0 \,|2\rangle &= E_2 \,|2\rangle.
\end{align}
বিষয়টিকে সহজ করার জন্য মনে করো interaction Hamiltonian, $H_1$ এর diagonal matrix elements গুলি শূন্যঃ
\begin{equation}
\langle 1|\,H_1\,|1\rangle = \langle 2|\,H_1\,|2\rangle = 0.
\end{equation}
এবং off-diagonal matrix elements গুলি $\omega$ frequency তে sinusoidally oscillate করছে-
\begin{equation}
\langle 1|\,H_1\,|2\rangle = \langle 2|\,H_1\,|1\rangle^\ast = \gamma \exp(\,{\rm i}\,
\omega\,t),
\end{equation}
যেখানে $\gamma$ ও $\omega$ বাস্তব সংখ্যা। লক্ষ্য করো যে শুধুমাত্র off-diagonal matrix elements গুলি states 1 এবং 2 এর ভেতর transition নির্দেশ করছে। Two-state system এর জন্য (\ref{e6.155}) সমীকরণকে লেখা যায়-
\begin{align}\label{e6.162}
{\rm i} \,\hbar\, \frac{d c_1}{dt} &= \gamma \exp[+{\rm i}\,
(\omega-\omega_{21})\,t\,]\,c_2,\\[0.5ex]
{\rm i}\,\hbar\, \frac{d c_2}{dt} &= \gamma \exp[-{\rm i}\,
(\omega-\omega_{21})\,t\,]\,c_1,\label{e6.163}
\end{align}
যেখানে $\omega_{21} = (E_2 - E_1)/\hbar$, এবং সময় $t_0=0$। সমীকরণ (\ref{e6.162}) এবং (\ref{e6.163}) কে যুক্ত করে amplitude $c_2$ এর time variation এর একটি second-order differential equation তৈরি করা যায়-
\begin{equation}
\frac{d^2 c_2}{dt^2} + {\rm i}\,(\omega-\omega_{21})\,\frac{d c_2}{dt} +
\frac{\gamma^2}{\hbar^2} \,c_2 = 0.
\end{equation}
এখান থেকে $c_2$ মান বের করে সমীকরণ (\ref{e6.163}) তে বসিয়ে $c_1$ এর মান বের করা যাবে। মনেকরো কোন একটা সমাধানের জন্য আমরা শিওর যে $t=0$ সময়ে ঐ সিস্টেমটি অবশ্যই প্রথম শক্তিস্তরে পাওয়া যাবে। তাহলে আমাদের প্রাথমিক শর্তগুলি হচ্ছে- $c_1(0) = 1$ এবং $c_2(0) = 0$। এটা খুব সহজেই দেখান যায় যে appropriate solutions গুলি-
\begin{align}
c_2(t) =& \frac{-{\rm i}\, \gamma/\hbar}
{[\gamma^2/\hbar^2 + (\omega-\omega_{21})^{\,2}/4]^{1/2}}\,
\exp[-{\rm i}\,(\omega-\omega_{21})\,t/2]\,\sin\left([\gamma^2/\hbar^2+(\omega-\omega_{21})^{\,2}/4]^{1/2}\,t\right),
\\[0.5ex]
c_1(t)=& \exp[\,{\rm i}\,(\omega-\omega_{21})\,t/2]\,\cos\left(
[\gamma^2/\hbar^2+(\omega-\omega_{21})^{\,2}/4]^{1/2}\,t\right)\nonumber\\[0.5ex]
&- \frac{{\rm i}\,(\omega-\omega_{21})/2 }{[\gamma^2/\hbar^2 +
(\omega-\omega_{21})^2/4]^{1/2}} \exp[\,{\rm i}\,(\omega-\omega_{21})\,t/2]\,\sin\left(
[\gamma^2/\hbar^2+(\omega-\omega_{21})^{\,2}/4]^{1/2}\,t\right).
\end{align}
সুতরাং $t$ সময়ে একটা সিস্টেমকে প্রথম শক্তিস্তরে পাওয়ার সম্ভাব্যতা হলো- $P_1(t) = |c_1|^{\,2}$। একইভাবে $t$ সময়ে ঐ সিস্টেমটিকে দ্বিতীয় শক্তিস্তরে পাওয়ার সম্ভাব্যতা হচ্ছে- $P_2(t) = |c_2|^{\,2}$। এখান থেকে লেখা যায়-
\begin{align}\label{e6.167}
P_2(t) &= \frac{\gamma^2/\hbar^2}{ \gamma^2/\hbar^2 +
(\omega-\omega_{21})^{\,2}/4}\, \sin^2\left([\gamma^2/\hbar^2+
(\omega-\omega_{21})^{\,2}/4]^{1/2}\,t\right),\\[0.5ex]
P_1(t) &= 1 - P_2(t).
\end{align}
সমীকরণ (\ref{e6.167}) সকল ধরনের classic resonance এর জন্যই সত্যি। যখন resonance ঘটে, তখন perturbation, $\omega$ এর oscillation frequency $\omega_{21}$ এর frequency এর সাথে মিলে যায়। সুতরাং আমরা পাই-
\begin{align}
P_1(t) &=\cos^2 (\gamma \,t / \hbar),\\[0.5ex]
P_2(t) &= \sin^2 (\gamma \,t/\hbar ).
\end{align}
উপরের সমাধান অনুযায়ী সিস্টেমটি $t=0$ তে $1$ শক্তিস্তর থেকে যাত্রা শুরু করে। এবং $\pi \,\hbar/2\,\gamma$ সময় পরে এটি শক্তিস্তর 2 তে অবস্থান করে। আরও কিছুটা সময় $\pi\, \hbar/2\,\gamma$ এর পরে সিস্টেমটি আবার ১ম শক্তিস্তরে ফিরে আসে এবং এরকম চলতে থাকে। অন্যভাবে বলা যায়, time-dependent perturbation এর কারনে সিস্টেমটি শক্তিস্তর 1 এবং 2 এর মধ্যে উঠানামা করতে থাকে। অর্থাৎ সিস্টেমটি perturbation এর source থেকে একবার শক্তি absorbs করে আবার শক্তি বিকিরন করে। এই absorption-emission cycle শুধু যে resonance এর কারনে ঘটে তা নয়, যখন $\omega\neq \omega_{21}$ তখনো এই ঘটনা ঘটতে পারে। তবে coefficient $c_2$ এর amplitude of oscillation কমে যায়। অর্থাৎ $P_2(t)$ এর maximum মান আর unity থাকেনা, এবং $P_1(t)$ এর minimum value ও শূন্য থাকেনা।
এবং যদি আমরা $P_2(t)$ এর maximum value কে applied frequency $\omega$ এর ফাংশন হিসাবে প্লট করি, তাহলে তোমরা একটা resonance curve পাবে যার maximum (unity) lies at the resonance, যার প্রস্থ and whose full-width
half-maximum (in frequency) is $4\,\gamma/\hbar$. Thus, if the
applied frequency differs from the resonant frequency by substantially
more than $2\,\gamma/\hbar$ then the probability of the system jumping from
state 1 to state 2 is very small.
Time-dependent perturbation শুধুমাত্র তখনি ১ম ও ২য় শক্তিস্তরের মধ্যে transitions ঘটাতে পারে যখন oscillation এর frequency $\omega_{21} \pm 2\,\gamma/\hbar$ এর মধ্যে থাকে। Perturbation যত দূর্বল হয় (অর্থাৎ $\gamma$ এর মান যত কম হতে থাকে), resonance এর মান তত narrow হতে থাকে।
পদার্থবিজ্ঞানের পাঠশালা