\section{Thomson Scattering}
ধরা যাক $\omega$ angular frequency যুক্ত একটা plane electromagnetic wave, $m_e$ ভর ও $-e$ চার্জ বিশিস্ট ইলেক্ট্রনের সাথে interact করছে। মনেকরো তরঙ্গটি এমনভাবে polarized যেনো ওটার সম্পূরক electric field $z$-অক্ষের সমান্তরাল অর্থাৎ,
\begin{equation}\label{e9.46}
{\bf E} = E_0\,\sin(\omega\,t)\,{\bf e}_z.
\end{equation}
আগের পরিচ্ছেদের বর্ণনা থেকে আমরা জানি, non-relativistic ইলেক্ট্রনের ক্ষেত্রে, বৈদ্যুতিকচৌম্বক তরঙ্গের উপর প্রযুক্ত force, electric field এর উপর নির্ভর করে। সুতরাং ইলেক্ট্রনের Equation of motion কে লেখা যায়-
\begin{equation}
m_e\,\frac{d^2 z}{dt^2} = -e\,E_0\,\sin(\omega\,t),
\end{equation}
সমীকরণটিকে সমাধান করে পাই-
\begin{equation}
z = \frac{e\,E_0}{m_e\,\omega^2}\,\sin(\omega\,t).
\end{equation}
সুতরাং বিদ্যুৎক্ষেত্রের দিক বরাবর ইলেক্ট্রন backward and forward oscillates করে। অর্থাৎ ইলেক্ট্রনকে অনেকটা oscillating electric dipole হিসাবে কল্পনা করতে পারো, যেখানে dipole moment-
\begin{equation}
{\bf p} = - e\,z\,\,{\bf e}_z = -p_0\,\sin(\omega\,t)\,{\bf e}_z,
\end{equation}
এখানে $p_0 = e^2\,E_0/(m_e\, \omega^2)$। এই মূহুর্তে আমরা ডাইপোলের positively charged component নিয়ে খুব বেশি একটা দুশ্চিন্তা করছিনা। এখন তোমরা জানো যে একটা
oscillating electric dipole বিদ্যুৎচৌম্বকীয় রেডিয়েশন বিকিরন করে। তাই বলা যায় যে একটা ফ্রি ইলেক্ট্রনকে যদি plane বিদ্যুৎচৌম্বকীয় তরঙ্গের পথে রাখা হয়, তবে সেটাও রেডিয়েশন বিকিরন করবে। আরো ভালোভাবে বলতে গেলে বলা যায় যে, তরঙ্গ থেকে ইলেক্ট্রনের বিচ্ছুরন (scattering) ঘটে । ইলেক্ট্রন থেকে যে ইলেক্ট্রন দ্বারা যে রেডিয়েশনের বিকিরন ঘটে সেটা আসলে তরঙ্গের দিকের উপর নির্ভর করে না। এধরনের বিচ্ছুরনকে Thomson scattering বলা হয়।
(\ref{e9.45}) সমীকরণ থেকে পাই যে, কোন solid angle $d\,{\mit\Omega}$ এর মধ্যে দিয়ে বিদ্যুৎচৌম্বকীয় তরঙ্গের ফ্রি ইলেক্ট্রন দ্বারা যে differential power বিচ্ছুরিত হয় তা হলো-
\begin{equation}\label{e9.50}
\frac{dP}{d{\mit\Omega}} = \frac{e^4\,E_0^{\,2}}{32\pi^2\epsilon_0\,c^3\,m_e^{\,2}}\,\sin^2\theta.
\end{equation}
তাহলে আপতিত বিদ্যুৎচৌম্বকীয় তরঙ্গের mean energy flux কে লেখা যায়-
\begin{equation}\label{e9.51}
|\langle {\bf u}\rangle| = \frac{c\,\epsilon_0\,E_0^{\,2}}{2}.
\end{equation}
আলোচনার এই পর্যায়ে তোমাদেরকে নতুন একটা জিনিষের সাথে পরিচয় করিয়ে দিবো। সেটা হলো differential scattering cross-section। গানিতিকভাবে এটাকে লেখা যায়-
\begin{equation}
\frac{d\sigma}{d{\mit\Omega}} = \frac{dP/d{\mit\Omega}}{|\langle{\bf u}\rangle|},
\end{equation}
এবং এটার একক area over solid angle। ব্যাপারটা অনেকটা এমন যে, ইলেক্ট্রনের একটা $d\sigma/d{\mit\Omega}$ সাইজের টার্গেট area আছে। কোন তরঙ্গ এসে যখন ইলেক্ট্রনের ঐ টার্গেট উপর আপতিত হয়, তখন সেটা $d{\mit\Omega}$ solid angle এ বিচ্ছুরিত হয়। এজন্য total scattering cross-section কে লেখা যায়-
\begin{equation}
\sigma = \oint \frac{d\sigma}{d{\mit\Omega}}\,d{\mit\Omega},
\end{equation}
যেটার একক area এর এককের সমান। একইভাবে কোন তরঙ্গ যখন ইলেক্ট্রনে $\sigma$ সাইজের একটা টার্গেট এলাকায় আপতিত হয়, তখন তরঙ্গটি না না দিকে বিচ্ছুরিত হয়ে যায়। সমীকরণ (\ref{e9.50}) এবং (\ref{e9.51}) থেকে লেখা যায় Thomson scattering এর differential scattering cross-section হচ্ছে-
\begin{equation}
\frac{d\sigma}{d{\mit\Omega}} = r_e^{\,2}\,\sin^2\theta,
\end{equation}
এখানে characteristic length
\begin{equation}\label{e9.55}
r_e = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0\,m_e\,c^2} = 2.82\times 10^{-15}\,{\rm m}
\end{equation}
কে classical electron radius বলা হয়। সুতরাং total Thomson scattering cross-section কে বলা যায়-
\begin{equation}\label{e9.56}
\sigma_T = \frac{8\,\pi}{3}\,r_e^{\,2} = 6.65\times 10^{-29}\,{\rm m^2}.
\end{equation}
লক্ষ্য করো differential এবং the total Thomson scattering cross-sections এর কোনটাই আপতিত রেডিয়েশনের তরঙ্গদৈর্ঘ্যের কম্পনের উপর নির্ভর করেনা।
scattering cross-section of $10^{-28}\,{\rm m^2}$ কে উল্লেখ্যযোগ্য কোন মান বলে মনে না হলেও Thomson scattering হলো মহাবিশ্বের অন্যান্য scattering গুলির মধ্যে অন্যতম। উদাহরন সরূপ সূর্যের কথাই চিন্তা করো। মজার বিষয় হলো সূর্যের mean mass density অনেকটা পানির mean mass density এর কাছাকাছি $10^3\,{\rm kg\,m}^{-3}$। এবং সূর্য মোটামুটি ionized Hydrogen এর সমন্বয়ে গঠিত। এজন্য সূর্যের ইলেক্ট্রনের mean number density এর মান $n_e \sim 10^3/m_p\sim 10^{30}\,{\rm m}^{-3}$, যেখানে
$m_p\sim 10^{-27}\,{\rm kg}$ হলো প্রোটনের ভর। এখন একটা প্রশ্ন করি, সূর্যের একটা ফোটন, ইলেক্ট্রন কর্তৃক বিচ্ছুরিত হবার আগে, ঠিক কতদূর অতিক্রম করতে পারে? ধরে নাও, প্রত্যেকটা ফোটন একটা সিলিন্ডার আকৃতির area $\sigma_T$ এর মধ্য দিয়ে নির্গত হচ্ছে, তাহলে প্রত্যেকটা ফোটন গড়ে $l$ দূরত্ব অতিক্রম করবে এমনভাবে যে scatter হবার আগে $\sigma_T$ area ও $l$ দৈর্ঘ্য বিশিস্ট এক একটি সিলিন্ডার অন্ততপক্ষে একটি করে ফ্রি ইলেক্ট্রন বহন করে। অর্থাৎ, $\sigma_T\,l \,n_e\sim 1$, অথবা-
\begin{equation}
l \sim \frac{1}{n_e\,\sigma_T}\sim 1\,{\rm cm}.
\end{equation}
এখানে সূর্যের ব্যাসার্ধ্য মোটামুটি $10^9\,{\rm m}$ ধরা হয়েছে। এটা পরিস্কার যে সূর্যরশ্নির ফোটন ইলেক্ট্রনদ্বারা বেশ ভালোভাবেই বিচ্ছুরিত হয়।
বিগ ব্যাং এর পর যখন মহাবিশ্ব প্রচন্ড গরম ছিলো, তখন সেটা আসলে ionized Hydrogen (আর dark matter) এর আধিক্য বেশি ছিলো। এবং তখন Thomson scattering এর মাধ্যমে বিদ্যুৎচৌম্বকীয় রেডিয়েশন বেশি ঘটতো। কিন্তু যখন মহাবিশ্ব প্রসারিত হওয়া শুরু করলো , তখন আস্তে আস্তে তাপমাত্রা কমতে থাকলো। ফলে ফ্রি প্রোটন আর ইলেক্ট্রন যুক্ত হয়ে হাইড্রোজেন গঠিত হতে শুরু করলো। তবে molecular Hydrogen, ইলেক্ট্রনের মত রেডিয়েশন বিচ্ছুরিত করতে পারেনা। এজন্য যখন মহাবিশ্ব হাইড্রোজেনের কণার পরিমান বেড়ে গেলো, তখন আস্তে আস্তে রেডিয়েশনের পরিমানও কমে গেলো।
সমীকরণ (\ref{e9.55}) ও (\ref{e9.56}) থেকে এটা পরিস্কার যে- $m$ ভর ও $q$ চার্জযুক্ত ফ্রি পার্টিকেলের scattering cross-section $q^4/m^2$ এর সমানুপাতিক। অর্থাৎ ফ্রি ইলেক্ট্রন কর্তৃক electromagnetic radiation এর scattering, free protons কর্তৃক উদ্ভুত scattering এর চেয়ে অনেক শক্তিশালী।