\section{Introduction}
কোন অবস্থার শক্তির আইগেন মান দেওয়া থাকলে সেটাকে সমাধান খুব সহজেই করা যায়। সমস্যাটা বাধে তখনই যখন অবস্থার যথাযথ ওয়েভ ফাংশন বা শক্তি কোনোটাই জানা থাকেনা । যেসব কোয়ান্টাম মডেলের ক্ষেত্রে আমরা যথাযথ সমাধান জানিনা সেসব মডেলের শক্তি ও ওয়েভ ফাংশন বের করার একটা পদ্ধতি হলো Perturbation।
মনেকরো কোন একটা সিস্টেমের Hamiltonian কে এভাবে লেখা যায়-
\begin{equation}
H = H_0 + H_1.
\end{equation}
এখানে, $H_0$ এমন একটা Hamiltonian যার আইগেন মান আর আইগেন স্তর দুটোই ঠিকমতো জানা আছে আর $H_1$ ঐ সিস্টেমের বিচলন এর Hamiltonian যার শক্তির আইগেন মান এবং আইগেন স্তর কোনটাই জানা নাই। ধরে নাও যে $H_1$ এর মান $H_0$ এর তুলনায় অনেক ক্ষুদ্র। আমরা বিচলন পদ্ধতি ব্যবহার করে কিভাবে এই নতুন Hamiltonian $H$ এর আইগেন মান আর আইগেন স্তরের সম্ভাব্য মান বের বের করা যায়, সেটা শিখবো।
সাধারনত নতুন Hamiltonian এর $H_0$ অংশ কখনই সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয়না। তবে $H_1$ এর মান ক্ষেত্র বিশেষে সময়ের উপর নির্ভরশীল হতেও পারে। তবে এই অধ্যায়ে আমরা ধরে নিবো $H_1$ সময়ের উপর নির্ভর করেনা। পরবর্তী কোন একটা অধ্যায়ে দেখবো যদি $H_1$ সময়ের উপর নির্ভর করে তাহলে সেটা কিভাবে সমাধান করা যায়।
\section{Two-State System}
এবার একটা সাধারন পর্যায়ের (system) কথা চিন্তা করো যেখানে অবিচলিত Hamiltonaian $H_0$ এর মাত্র দুইটি আইগেনকেট রয়েছে। সেগুলি হলো-
\begin{eqnarray}
H_0 \,|1\rangle &=& E_1 \,|1\rangle,\\[0.5ex]
H_0 \,|2\rangle &=& E_2 \,|2\rangle.
\end{eqnarray}
ধরো যে এই স্তরগুলি আর এদের সংশ্লিষ্ট আইগেন মানগুলো আমাদের জানা আছে। সংজ্ঞা অনুযায়ী $H_0$ হার্মিশিয়ান অপারেটর। সুতরাং এই দুটি স্তর একে অপরের সাপেক্ষে সমকোন সৃষ্টি করে। অন্যভাবে বলা যায় এই দুটি স্তর একটি আরেকটির সাপেক্ষে লম্ব। এবং এই আইগেন কেট দুটি সম্পূর্ন একটি সেট (complete set) গঠন করে । এই আইগেন কেট দুটির দৈর্ঘ্যকে normalized করলে আমরা একটি একক মান পাবো। এবার চলো দেখি নতুন Hamiltonian $H_1$ এর উপস্থিতিতে কিভাবে এখান থেকে আইগেন মান হিসেব করা যায়-
\begin{equation}\label{e6.4}
(H_0 + H_1) \,|E\rangle = E\,|E\rangle.
\end{equation}
যেহেতু $H_0$ এর আইগেন কেটগুলি সম্পূর্ন সেট গঠন করে, সেহেতু আমরা লিখতে পারি-
\begin{equation}
|E\rangle = \langle 1|E\rangle |1\rangle + \langle 2|E\rangle |2\rangle.
\end{equation}
সমীকরণ (\ref{e6.4}) কে $\langle 1|$ আর $\langle 2|$ দিয়ে গুন করলে দুটি coupled সমীকরণ পাওয়া যায়, সেদুটি সমীকরণকে ম্যাট্রিক্স আকারে প্রকাশ করা যায় এভাবে-
\begin{equation}\label{e6.6}
\left( \begin{array}{c c}
E_1 -E + e_{11} & e_{12} \\
e_{12}^{\,\ast} & E_2 -E + e_{22}
\end{array} \right)\left(\!
\begin{array}{c}\langle 1|E\rangle\\
\langle 2|E \rangle\end{array}
\!\right)= \left(\!\begin{array}{c}0\\
0 \end{array}\!
\right).
\end{equation}
এখানে,
\begin{eqnarray}
e_{11} &=& \langle 1|\,H_1\, | 1\rangle,\\[0.5ex]
e_{22} &=& \langle 2 |\,H_1\, |2\rangle, \\[0.5ex]
e_{12} &=& \langle 1|\,H_1\,|2\rangle.
\end{eqnarray}
কিছু বিশেষ ক্ষেত্রে বিচলন Hamiltonian ম্যাট্রিক্স এর কর্ণ বরাবর পদগুলি শুন্য হয়। অর্থাৎ
\begin{equation}
e_{11} = e_{22} = 0,
\end{equation}
উপরের ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ককে শূন্য ধরে খুব সহজেই (\ref{e6.6}) এর সমাধান হিসেব করা যায়-
\begin{equation}
E = \frac{(E_1+E_2) \pm \sqrt{(E_1-E_2)^{\,2} + 4\,|e_{12}|^{\,2}}}{2}.
\end{equation}
ধরি $\epsilon$ ছোট ক্ষুদ্র parameter। এবং এর মান-
\begin{equation}
\epsilon = \frac{|e_{12}|}{|E_1-E_2|}.
\end{equation}
আমরা পাই-
\begin{equation}\label{e6.13}
E\simeq \frac{1}{2} \,(E_1+E_2) \pm \frac{1}{2}\,(E_1-E_2)\,(1+2\,\epsilon^2 + \cdots).
\end{equation}
উপরের সমীকরণটি বিচলন Hamiltonian এর প্রভাবে পরিবর্তিত শক্তি আইগেন মানকে প্রকাশ করে-
\begin{eqnarray}
E_1' &=& E_1 + \frac{|e_{12}|^{\,2}}{E_1-E_2} + \cdots,\\[0.5ex]
E_2' &=& E_2 - \frac{|e_{12}|^{\,2}}{E_1-E_2} + \cdots.
\end{eqnarray}
এখানে জেনে রাখা ভালো, $H_1$ এর কারনে উপরের আইগেনমান বৃদ্ধি পায়, আর নিচের আইগেন মান কমে যায়। সুতরাং পরিবর্তিত আইগেন কেটগুলিকে লেখা যায় -
\begin{eqnarray}
|1\rangle' &=& |1\rangle + \frac{e_{12}^{~\ast}}{E_1-E_2}\, |2\rangle + \cdots,
\\[0.5ex]
|2\rangle' &=& |2\rangle - \frac{e_{12}}{E_1-E_2}\, |1\rangle +\cdots.
\end{eqnarray}
উপরের সমীকরণ দুটি থেকে এটা পরিস্কার যে, পরিবর্তিত শক্তি আইগেনস্তরগুলি দুটি অবিচলিত আইগেনস্তরের সামান্য সংমিশ্রনে তৈরি হয়। যদি $2\,|\epsilon|<1 -="" begin="" br="" converge="" e6.13="" e_="" end="" equation="" frac="" ref="">
পদার্থবিজ্ঞানের পাঠশালা