আগের পরিচ্ছদে আমরা শিখেছি কিভাবে দুটিস্তর বিশিস্ট পর্যায়ের ক্ষেত্রে বিচলন তত্ত্ব প্রয়োগ করতে হয়। এই পরিচ্ছেদে চেস্টা করবো একটা সার্বজনীন সূত্র তৈরি করতে যেন একাধিক স্তরের ক্ষেত্রেও বিচলন তত্ত্ব প্রয়োগ করা যায়। অবিচলিত Hamiltonian $H_0$ এর শক্তি আইগেন স্তরকে লেখা যায়-
\begin{equation}
H_0\, |n\rangle = E_n\, |n\rangle,
\end{equation}
যেখানে $n$ এর মান 1 থেকে $N$ পর্যন্ত সংখ্যা। আইগেন কেটগুলি $|n\rangle$ একে অপরের উপর লম্ব অবস্থায় একটি পরিপূর্ণ সেট গঠন করে। এবং এদের দৈর্ঘ্যে normalized করলে একক পাওয়া যায়। এখন আসো, দেখি বিচলিত Hamiltonian এর জন্যে শক্তি আইগেন মান কিভাবে হিসেব করা যায়। ধরো আমাদের Hamiltonian:
\begin{equation}\label{e6.20}
(H_0 + H_1) \,|E\rangle = E\, |E\rangle.
\end{equation}
$|E\rangle$ কে আমরা অবিচলিত শক্তি আইগেন কেটগুলির রৈখিক উপরিপাতনের মাধ্যমে প্রকাশ করতে পারি এভাবে-
\begin{equation}
|E\rangle = \sum_{k=1}^{N} \langle k | E\rangle |k\rangle,
\end{equation}
এই সমীকরণটিকে (\ref{e6.20}) সমীকরণে বসিয়ে এবং $\langle m|$ দিয়ে গুন করে পাই-
\begin{equation}\label{e6.22}
(E_m + e_{mm} - E)\, \langle m|E\rangle + \sum_{k\neq m} e_{mk}\, \langle k|E\rangle = 0,
\end{equation}
যেখানে
\begin{equation}
e_{mk} = \langle m |\,H_1\,| k\rangle.
\end{equation}
মনে করো $\epsilon$ একটি ক্ষুদ্র ($\epsilon\ll 1$) parameter। ধরি -
\begin{equation}
\frac{|e_{mk}|}{E_m - E_k} \sim O(\epsilon),
\end{equation}
এবং
\begin{equation}
\frac{|e_{mm}|}{E_m} \sim O(\epsilon),
\end{equation}
সকল $m$ এর জন্য। ধরো $n$ তম অবিচলিত শক্তি আইগেনস্তরের জন্যে লিখতে পারি-
\begin{equation}
E= E_n + O(\epsilon),
\end{equation}
এবং
\begin{eqnarray}
\langle n|E\rangle &=& 1,\\[0.5ex]
\langle m|E\rangle &\sim& O(\epsilon),
\end{eqnarray}
যখন $m\neq n$। এখন $m\neq n$ এর জন্য $O(\epsilon^2)$ পদগুলিকে বাদ দিয়ে সমীকরণ (\ref{e6.22}) কে লিখতে পারি এভাবে-
\begin{equation}
(E_m - E_n) \,\langle m |E \rangle + e_{mn} \simeq 0,
\end{equation}
থেকে পাই
\begin{equation}
\langle m|E\rangle \simeq -\frac{e_{mn}}{E_m - E_n}.
\end{equation}
এখন $m=n$ এর জন্য $O(\epsilon^3)$ পদগুলিকে বাদ দিয়ে এই মানটিকে সমীকরণ (\ref{e6.22}) তে বসিয়ে পাই-
\begin{equation}
(E_n + e_{nn} - E) - \sum_{k\neq n} \frac{|e_{nk}|^{\,2}}
{E_k-E_n} \simeq 0.
\end{equation}
সুতরাং, পরিবর্তিত $n$ তম শক্তি আইগেনস্তরের আইগেন মান-
\begin{equation}\label{e6.32}
E_n' = E_n + e_{nn} + \sum_{k\neq n} \frac{|e_{nk}|^{\,2}}
{E_n-E_k} + O(\epsilon^3),
\end{equation}
এবং আইগেন কেট-
\begin{equation}\label{e6.33}
|n\rangle' = |n\rangle +\sum_{k\neq n}\frac{e_{kn}}{E_n - E_k}\,|k\rangle + O(\epsilon^2).
\end{equation}
খেয়াল করো যে-
\begin{equation}
\langle m|n\rangle' = \delta_{mn} + \frac{e_{nm}^{\,\ast}}{E_m-E_n} + \frac{e_{mn}}
{E_n-E_m} + O(\epsilon^2) = \delta_{mn} + O(\epsilon^2).
\end{equation}
সুতরাং, পরিবর্তিত আইগেন কেটগুলি আগের মতই একে অপরের সাথে লম্বভাবে থাকে।
পদার্থবিজ্ঞানের পাঠশালা