এইবার এমন একটা অবস্থার কথা চিন্তা করো যেখানে অবিচলিত Hamiltonian, $H_0$ এর আইগেনস্তর গুলি degenerate শক্তিস্তর ধারন করে।
\begin{equation}
H_0\, |n, l\rangle = E_n\, |n, l\rangle,
\end{equation}
ধরো একটা হার্মিশিয়ান অপারেটর $L$ রয়েছে, যাকে আমরা নিম্নরূপভাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারি-
\begin{equation}
L\,|n,l\rangle = L_{n\,l}\, |n, l\rangle,
\end{equation}
যেখানে $[H_0, L] = 0$। এখানে, $E_n$ আর $L_{n\,l}$ হচ্ছে বাস্তব সংখ্যা, যেগুলি কোয়ান্টাম নম্বর $n$, ও $n$ এবং $l$ এর উপর নির্ভর করে। আমরা $L$ কে এমনভাবে নির্ধারন করতে পারি যেন প্রতিটা আইগেনস্তরের জন্য $n$ ও $l$ কোয়ান্টাম নম্বরগুলি ভিন্ন ভিন্ন হয়। অর্থাৎ মনে করো $n$ এর ভিন্ন ভিন্ন মানের জন্যে $l$ এর $N_n$ সংখ্যক ভিন্ন ভিন্ন মান রয়েছে। অর্থাৎ $n$ তম শক্তি আইগেনস্তরের হলো $N_n$-fold degenerate.
সাধারনভাবে $L$ বিচলন Hamiltonian, $H_1$ এর সাথে বিনিময় (commute) করেনা। অর্থাৎ পরিবর্তিত শক্তি আইগেনস্তর গুলি $L$ এর আইগেনস্তর নয়। এই অবস্থায় আমরা আশা করতে পারি, বিচলনের কারনে শক্তিস্তর গুলির degeneracy গুলি আলাদা আলাদা হয়ে যাবে, যাতে করে পরিবর্তিত আইগেন স্তর $|n,l\rangle'$ একটি অনন্য আইগেন শক্তিমান $E_{nl}'$ লাভ করবে। এবার চলো দেখি, পরিচ্ছেদ \ref{s6.3} এ আলোচিত বিচলন তত্ত্ব এক্ষেত্রে কেমন কাজ করে। সমীকরণ (\ref{e6.32}) ও (\ref{e6.33}) থেকে পাই-
\begin{equation}\label{e6.68}
E_{nl}' = E_n + e_{nlnl} + \sum_{n', l' \neq n,l}
\frac{|e_{n'l'nl}|^{\,2}}{E_n - E_{n'}} + O(\epsilon^3),
\end{equation}
এবং
\begin{equation}\label{e6.69}
|n, l\rangle' = |n,l\rangle + \sum_{n', l'\neq n, l}
\frac{e_{n'l'nl}}{E_n-E_{n'}}\,|n',l'\rangle + O(\epsilon^2),
\end{equation}
যেখানে-
\begin{equation}
e_{n'l'nl} = \langle n',l'|\,H_1\,|n,l\rangle.
\end{equation}
এটা পরিস্কার যে, যদি $n$ তম শক্তিস্তর degenerate হয়, তাহলে (\ref{e6.68}) ও (\ref{e6.69}) যথাযথ ব্যবহার করেনা। যেসব পদগুলির অবিচলিত আইগেনস্তরগুলির শক্তি সমান সেসব পদগুলিই ঝামেলার কারণ। সেসব ক্ষেত্রে হর এ $1/(E_n - E_n)$ এসে যায়, ফলে সমীকরণটি অসংজ্ঞায়িত হয়ে যায়। তবে যদি যদি আমরা একটি শর্ত জুড়ে দেই-
\begin{equation}\label{e6.71}
\langle n, l' |\,H_1\,| n, l\rangle = \lambda_{n\,l}\, \delta_{l\,l'},
\end{equation}
তাহলে (\ref{e6.68}) এবং (\ref{e6.69}) এর ঝামেলাযুক্ত পদ গুলি আর থাকেনা।
অর্থাৎ সমীকরণ (\ref{e6.71}) satisfy করেনা। তবে আনন্দের বিষয় হলো, আমরা চাইলে অবিচলিত শক্তি আইগেনস্তরকে এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারি যেনো (\ref{e6.71}) সমীকরণের শর্তটি মেনে চলে। মনে করো $N_n$ টি নতুন স্তর আছে যেগুলো আইগেনমান $E_n$ এর আসল $N_n$ degenerate আইগেনস্তরের রৈখিক সমাহারে তৈরি-
\begin{equation}
|n,l^{(1)}\rangle = \sum_{k=1,N_n} \langle n,k|n,l^{(1)}\rangle |n,k\rangle.
\end{equation}
খেয়াল করো যে এই নতুনস্তরগুলিও অবিচলিত Hamiltonian এর আইগেনমান $E_n$ এর degenrate শক্তি আইগেনস্তর। মনেকরো $|n,l^{(1)}\rangle$ অবিচলিত Hamiltonian $H_1$ এর আইগেনস্তর-
\begin{equation}\label{e6.71a}
H_1\, |n, l^{(1)}\rangle = \lambda_{n\,l} \,|n, l^{(1)}\rangle.
\end{equation}
$|n,l^{(1)}\rangle$ কে এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায় যেনো তারা একে অপরের সাথে সমকোন তৈরি করে এবং তাদের একক দৈর্ঘ্য থাকে। অর্থাৎ
It follows that
\begin{equation}
\langle n, l'^{(1)} | \,H_1\,|n, l^{(1)}\rangle = \lambda_{n\,l}\,\delta_{l\,l'}.
\end{equation}
অর্থাৎ যদি আমরা পুরানো আইগেনস্তরের বদলে নতুন আইগেনস্তর ব্যবহার করি তাহলে (\ref{e6.68}) আর (\ref{e6.69}) কে সরাসরি প্রয়োগ করতে পারবো, কারন তখন সবগুলি অসংজ্ঞায়িত পদগুলি আর থাকবেনা। শুধু আমাদের কাজ হবে নতুন আর পুরানো আইগেনস্তর গুলির মধ্যে সম্পর্ক খুজে বের করা-
\begin{equation}
\sum_{l=1,N_n} |n,l\rangle \langle n,l| = 1,
\end{equation}
যেখানে 1 বলতে আইডেন্টিটি অপারেটরকে বুঝানো হচ্ছে। এই আইডেন্টিটি হলো আইগেনমান $E_n$ এর সাপেক্ষে সবগুলি অবিচলিত শক্তি আইগেনকেটের sub-space এর জন্য প্রযোয্য । এই শর্তটি প্রয়োগ করে আইগেনমান সমীকরণের অপারেটর (\ref{e6.71a}) কে ম্যাট্রিক্স আইগেনমান সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়-
\begin{equation}
\sum_{l''=1,N_n}\langle n, l'|H_1|n, l''\rangle \langle n, l''|n, l^{(1)}\rangle
= \lambda_{n\,l}\, \langle n, l'| n, l^{(1)}\rangle.
\end{equation}
এটাকে লেখা যায় এভাবে-
\begin{equation}\label{e6.77}
{\bf U} \,{\bf x} = \lambda \,{\bf x},
\end{equation}
যেখানে $N_n\times N_n$ হার্মিশিয়ান ম্যাট্রিক্স ${\bf U}$ এর উপাদানগুলি হচ্ছে-
\begin{equation}\label{e6.78}
U_{j\,k} = \langle n, j|\, H_1\,| n, k\rangle.
\end{equation}
যেখানে ${\bf U}$ এর নির্ণায়ক শূন্য নয়। সমীকরণ (\ref{e6.77}) কে সমাধান করে $N_n$ টি আইগেনমান $\lambda_{n\,l}$ ( $l=1$ থেকে $N_n$ এর জন্য) এবং
$N_n$ টি আইগেনভেক্টর ${\bf x}_{n\,l}$ পাওয়া যায়। এই আইগেন ভেক্টরগুলি আসল আইগেস্তরের সাপেক্ষে নতুন আইগেনস্তরের ওজনকে প্রকাশ করে।
\begin{equation}
({\bf x}_{n\,l})_k = \langle n, k|n, l^{(1)}\rangle,
\end{equation}
যখন $k=1$ থেকে $N_n$। আমাদের এই নতুন সমীকরণের সাপেক্ষে সমীকরণ (\ref{e6.68}) এবং (\ref{e6.69}) থেকে পাই,
\begin{equation}
E_{nl}' = E_n + \lambda_{n\,l} + \sum_{n'\neq n, l'}
\frac{|e_{n'l'nl}|^{\,2}}{E_n - E_{n'}} + O(\epsilon^3),
\end{equation}
এবং
\begin{equation}
|n, l^{(1)}\rangle' = |n,l^{(1)}\rangle + \sum_{n'\neq n, l'}
\frac{e_{n'l'nl}}{E_n-E_{n'}}\,|n',l'\rangle + O(\epsilon^2).
\end{equation}
এই বিস্তারে কোন অসংজ্ঞায়িত পদ নাই, কেননা $n'\neq n$। অর্থাৎ, যেসব পদ গুলি $E_n$ আইগেন মানের জন্যে degenerate, অবিচলিত শক্তি আইগেনস্তরগুলিকে সেসব পদগুলিকে সরিয়ে দেয়। খেয়াল করো যে, প্রথম-ক্রম শক্তি-পার্থক্যগুলি ম্যাট্রিক্স সমীকরণ (\ref{e6.77}) এর সমতূল্য।
পদার্থবিজ্ঞানের পাঠশালা